จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ x⁵ / √(x² + 1)

Step-by-step solution

1. 1

   ใช้ประโยชน์จาก $x$ ที่ยกกำลังคี่ เนื่องจากเลขชี้กำลัง $5$ เป็นจำนวนคี่ จึงจับ $x$ หนึ่งตัวไปคู่กับ $dx$ เพื่อสร้าง $du$ ได้ และ $x^{4}$ ที่เหลือเป็นกำลังคู่ซึ่งเขียนด้วย $x^{2}$ ได้ทั้งหมด นี่คือเหตุผลมาตรฐานที่ $u=x^{2}+1$ ใช้ได้ในข้อนี้ แต่ใช้ไม่ได้ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนคู่

2. 2

   ตั้งการแทนค่า

   $u=x^{2}+1\ \Longrightarrow\ du=2x\,dx\ \Longrightarrow\ x\,dx=\tfrac12\,du,\qquad x^{2}=u-1$

   จากนั้น

   $x^{5}dx=\left(x^{2}\right)^{2}\cdot x\,dx=(u-1)^{2}\cdot\tfrac12\,du$

3. 3

   เขียนปริพันธ์ทั้งก้อนใหม่ในตัวแปร $u$

   $\int\frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\frac12\int\frac{(u-1)^{2}}{\sqrt u}\,du=\frac12\int\left(u^{3/2}-2u^{1/2}+u^{-1/2}\right)du$

   กระจาย $(u-1)^2=u^2-2u+1$ แล้วหารแต่ละพจน์ด้วย $u^{1/2}$ จะลดเลขชี้กำลังทุกตัวลง $\tfrac12$

4. 4

   อินทิเกรตแต่ละกำลังด้วยกฎ $\int u^{p}du=\frac{u^{p+1}}{p+1}$

   $\int u^{3/2}du=\tfrac25u^{5/2},\qquad \int u^{1/2}du=\tfrac23u^{3/2},\qquad \int u^{-1/2}du=2u^{1/2}$

5. 5

   รวมกันแล้วเคลียร์ตัวหนึ่งส่วนสองที่อยู่ข้างนอก

   $\frac12\left(\frac25u^{5/2}-\frac43u^{3/2}+2u^{1/2}\right)=\frac15u^{5/2}-\frac23u^{3/2}+u^{1/2}$

6. 6

   แทนกลับแล้วตรวจ

   $\int\frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\frac15\left(x^{2}+1\right)^{5/2}-\frac23\left(x^{2}+1\right)^{3/2}+\left(x^{2}+1\right)^{1/2}+C$

   หาอนุพันธ์ของผลนี้เชิงตัวเลขที่ $x=1.3$ ได้ $2.263813$ และตัวถูกอินทิเกรตที่จุดนั้นเท่ากับ $2.263813$ ✓