จงหาค่าปริพันธ์ของ 1 / x^(2/3) จาก x = −1 ถึง x = 1

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตจุดเอกฐานที่อยู่ภายในช่วง ตัวถูกอินทิเกรต $x^{-2/3}$ ไม่นิยามที่ $x=0$ ซึ่งอยู่ข้างในช่วงการอินทิเกรต การใช้ทฤษฎีบทหลักมูลคร่อมช่องว่างนั้นไปเลยเป็นสิ่งที่ทำไม่ได้ ต้องถือว่าปริพันธ์นี้ไม่ตรงแบบและแยกที่ $0$

   $\int_{-1}^{1}x^{-2/3}dx=\int_{-1}^{0}x^{-2/3}dx+\int_{0}^{1}x^{-2/3}dx$

2. 2

   หาปฏิยานุพันธ์ ใช้กฎกำลังโดยมี $p=-\tfrac23$ ดังนั้น $p+1=\tfrac13$

   $\int x^{-2/3}dx=\frac{x^{1/3}}{1/3}=3x^{1/3}$

   รากที่สามในระบบจำนวนจริง $x^{1/3}$ นิยามสำหรับ $x$ ที่เป็นลบด้วย สูตรเดียวนี้จึงครอบคลุมทั้งสองครึ่ง

3. 3

   หาค่าครึ่งซ้ายในรูปลิมิต

   $\lim_{a\to 0^{-}}\left[3x^{1/3}\right]_{-1}^{a}=\lim_{a\to 0^{-}}\left(3a^{1/3}-3(-1)^{1/3}\right)=0+3=3$

   โดยใช้ $(-1)^{1/3}=-1$ ลิมิตมีค่าจำกัดเพราะ $x^{1/3}\to 0$ ไม่ใช่ $\infty$ ปฏิยานุพันธ์ต่อเนื่องแม้ในจุดที่ตัวถูกอินทิเกรตไม่ต่อเนื่อง

4. 4

   หาค่าครึ่งขวาด้วยวิธีเดียวกัน

   $\lim_{b\to 0^{+}}\left[3x^{1/3}\right]_{b}^{1}=\lim_{b\to 0^{+}}\left(3-3b^{1/3}\right)=3$

5. 5

   บวกสองครึ่งที่ลู่เข้าเข้าด้วยกัน

   $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2/3}}dx=3+3=6$

   ปริพันธ์นี้ลู่เข้าแม้ตัวถูกอินทิเกรตจะไม่มีขอบเขต ยอดแหลมที่ $0$ แคบเกินกว่าจะกักพื้นที่อนันต์เอาไว้ได้

6. 6

   เทียบกับกฎทั่วไป ใกล้ ๆ $0$ ปริพันธ์ $\int_{0}^{1}x^{-p}dx$ ลู่เข้าเมื่อ $p<1$ เท่านั้น ในที่นี้ $p=\tfrac23<1$ การลู่เข้าจึงคาดเดาได้ล่วงหน้า ถ้าเลขชี้กำลังเป็น $x^{-4/3}$ (คือ $p=\tfrac43>1$) ทั้งสองครึ่งจะลู่ออก ส่วนความสมมาตรของตัวถูกอินทิเกรตก็อธิบายว่าทำไมทั้งสองครึ่งจึงให้ค่า $3$ เท่ากัน