3/x − 2/x² の x についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   線形性で分けて定数を外に出す。

   $\int\left(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}\right)dx=3\int\frac{dx}{x}-2\int\frac{dx}{x^2}$

   定義域は$x\neq0$であり、原始関数は$(-\infty,0)$と$(0,\infty)$のそれぞれで別々に有効である。

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   第1項：べき乗則が唯一扱えない場合。 $\tfrac1x=x^{-1}$と書くと、公式$\int x^ndx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}$は$n+1=0$で割ることになってしまう。よって$n=-1$は例外であり、対数で処理する：

   $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$

   負の$x$でも成り立つようにしているのが絶対値である。したがって第1項の寄与は$3\ln|x|$になる。

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   第2項：べき乗則がそのまま使える。 ここでは$\tfrac{1}{x^2}=x^{-2}$で$n+1=-1\neq0$なので：

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

   よって$2\int x^{-2}dx=-\dfrac{2}{x}$となる。

4. 4

   前についているマイナス符号を反映させる。 被積分関数はこの第2の部分を引いているので：

   $-2\int x^{-2}dx=-\left(-\frac{2}{x}\right)=+\frac{2}{x}$

   この符号の反転が最も落としやすい段階である——答えは$+\tfrac2x$であって$-\tfrac2x$ではない。

5. 5

   1つの原始関数にまとめる。

   $\int\left(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}\right)dx=3\ln|x|+\frac{2}{x}+C$

   見た目の似た2つの項から、対数と有理式というまったく異なる型の関数が生まれている。

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   微分して検算する。 $\dfrac{d}{dx}\left[3\ln|x|+\tfrac2x\right]=\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^2}$ ✓。数値でも、$x=0.7,\ 2.3,\ -1.6$での対称差分商が被積分関数と5桁一致する ✓。負の$x$も含めての一致である。