領域 −1 ≤ x ≤ 1、x² ≤ y ≤ 1 上での y の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   領域を特定する。 $[-1,1]$ の各 $x$ について、切片は放物線 $y=x^2$ から直線 $y=1$ まで伸びる。2 曲線は $x^2=1$ すなわち $x=\pm 1$ で交わるので、領域はちょうど放物線と水平な直線で囲まれた部分——閉じていて有界、しかも $y$ 軸について対称である。

2. 2

   積分区間が $x$ に依存するので、まず $y$ で積分する。

   $\int_{x^2}^{1} y\,dy=\left[\frac{y^2}{2}\right]_{y=x^2}^{y=1}=\frac{1}{2}-\frac{\left(x^2\right)^2}{2}=\frac{1-x^4}{2}$

   $\left(x^2\right)^2=x^4$ であって $x^2$ ではない点に注意する——下端を 2 乗する段階が 4 次を生む。

3. 3

   偶関数の対称性で手間を半分にする。 関数 $\tfrac{1-x^4}{2}$ は偶関数なので

   $\int_{-1}^{1}\frac{1-x^4}{2}\,dx=2\int_0^1\frac{1-x^4}{2}\,dx=\int_0^1\left(1-x^4\right)dx$

4. 4

   外側の積分を仕上げる。

   $\int_0^1\left(1-x^4\right)dx=\left[x-\frac{x^5}{5}\right]_0^1=1-\frac15=\frac45$

5. 5

   重心の解釈で検算する。 領域の面積は $\int_{-1}^1\left(1-x^2\right)dx=2-\tfrac23=\tfrac43$ である。$\iint y\,dA=\bar y\cdot\text{面積}$ なので、この答えは重心の高さ

   $\bar y=\frac{4/5}{4/3}=\frac{3}{5}=0.6$

   を意味する。これは筋の通る値である。領域は $y=1$ の近くで最も幅広く、$y=0$ では 1 点に絞られるので、重心は中点の $y=0.5$ より上にあるはずである $\checkmark$。