對 y = 2cos(x)，寫出定義域並求導數。

Step-by-step solution

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   先決定定義域。 餘弦函數對每一個實數輸入都有定義——沒有除法、沒有偶次方根，也沒有對數會限制它——而乘上 $2$ 也不會改變什麼。因此

   $\mathcal{D}=\mathbb{R}$

2. 2

   把常數提出來。 常數倍法則說 $\dfrac{d}{dx}\left[cf(x)\right]=c\,f'(x)$，所以那個 $2$ 就乖乖待在外面：

   $y'=2\cdot\frac{d}{dx}\left(\cos x\right)$

3. 3

   微分餘弦。 這個標準導數帶著一個負號：

   $\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

   把這個負號弄丟，是三角函數微分最常見的錯誤。（這裡的引數就是單純的 $x$，所以不需要連鎖律的額外因子。）

4. 4

   合併起來。

   $y'=2(-\sin x)=-2\sin x$

5. 5

   從數值與結構兩方面驗證。 取 $h=10^{-6}$ 做中央差分，在 $x=0.3$、$1.4$、$2.9$ 各處都與 $-2\sin x$ 吻合到 $10^{-6}$ 以內 ✓。結構上檢查：$y=2\cos x$ 在 $x=0,2\pi,\ldots$ 有極大值、在 $x=\pi,\ldots$ 有極小值，而 $y'=-2\sin x$ 恰好在 $\pi$ 的每個倍數處為零 ✓。$y'$ 的值域是 $[-2,2]$，所以曲線最陡的斜率是 $\pm2$，分別在 $x=\tfrac{\pi}{2}$ 與 $\tfrac{3\pi}{2}$ 處達到。