計算 1.62482e^(−x/12.72238) + 2.85422 對 x 從 x = 0 到 x = 300 的定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   把積分拆成兩塊可以各自處理的部分。 被積函數是一個衰減指數加上一個常數，而積分具有線性，所以

   $\int_0^{300}\!\!\left(a\,e^{-x/k}+c\right)dx=a\int_0^{300}\!e^{-x/k}dx+c\int_0^{300}\!dx$

   其中 $a=1.62482$、$k=12.72238$、$c=2.85422$。

2. 2

   先求指數項的反導函數。 因為 $\dfrac{d}{dx}e^{-x/k}=-\dfrac{1}{k}e^{-x/k}$，所以反導函數會多帶一個 $-k$ 的因子：

   $\int a\,e^{-x/k}dx=-ak\,e^{-x/k}+C,\qquad \int c\,dx=cx+C$

   於是 $F(x)=-ak\,e^{-x/k}+cx$。

3. 3

   代入上下限並化簡。

   $F(300)-F(0)=ak\left(1-e^{-300/k}\right)+300c$

   下限處的 $-e^{-x/k}$ 變成 $+1$，這正是衰減項貢獻的是正的 $ak$ 的原因。

4. 4

   小心把數字算出來。 衰減項的係數是

   $ak=1.62482\times12.72238=20.6715774716$

   常數項的部分則是

   $300c=300\times2.85422=856.266$

5. 5

   說明指數的尾巴為什麼可以忽略。 $\dfrac{300}{12.72238}=23.5805$，而 $e^{-23.5805}=5.743\times10^{-11}$。所以 $1-e^{-300/k}=0.99999999994$，只會動到 $ak$ 小數點後第九位——這個積分其實已經到達它在無窮遠處的極限值 $ak+300c$ 了。

6. 6

   相加寫出結果，順便更正一個常見的失誤。

   $20.6715774716+856.266=876.9375774716$

   有時候會看到有人寫 $876.93843$，那是把 $1.62482\times12.72238$ 誤算成 $20.6724315116$ 造成的；正確的乘積是 $20.6715774716$。

7. 7

   用數值積分驗算。 在 $[0,300]$ 上用三百萬個子區間做梯形法，得到 $876.9375775$，與封閉形式吻合到小數七位 ✓。