函數 f(x) = |x − 4| − 3 向上平移 6 單位、向右平移 2 單位，寫出新函數的式子。

Step-by-step solution

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   先找出原來的頂點。 對 $f(x)=|x-h|+k$，轉折點在 $(h,k)$。從 $f(x)=|x-4|-3$ 讀出 $h=4$、$k=-3$，所以頂點在

   $(4,-3)$

   盯住頂點是理清平移最快的辦法，因為那個 V 形本身從頭到尾沒變過——變的只是它轉角所在的位置。

2. 2

   做水平平移：把 $x$ 換成 $x-2$。 圖形向右移 $2$ 單位，意味著要得到同樣的輸出，輸入必須大 $2$，所以代換時是減：

   $f(x-2)=\left|(x-2)-4\right|-3=|x-6|-3$

   多數同學都覺得這個符號是反的——右移在裡面要減——正因如此，與其死記，不如老老實實做一次代換。

3. 3

   做鉛直平移：在外面加。 向上移 $6$ 單位，就是給整個輸出加 $6$：

   $|x-6|-3+6=|x-6|+3$

   鉛直平移倒是符合直覺：向上就是 $+$。

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   寫出平移後的函數及其頂點。

   $f(x)=|x-6|+3,\qquad \text{頂點為 }(6,3)$

   頂點從 $(4,-3)$ 挪到了 $(6,3)$：向右 $2$、向上 $6$——與題目要求分毫不差，這本身就是一道自帶的檢驗。

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   取點驗證。 在原圖形上 $f(4)=|4-4|-3=-3$（就是那個轉角）。它在右移 $2$、上移 $6$ 之後應當落在 $(6,3)$，而新的式子給出 $|6-6|+3=3\;\checkmark$。再驗一個：原來的 $f(0)=|{-4}|-3=1$ 對應的點應落到 $(2,7)$，新函數算出 $|2-6|+3=4+3=7\;\checkmark$。