用综合除法计算 x^3 - 7x + 6 除以 -2x + 1，注意除式的首项系数不是 1。

Step-by-step solution

1. 1

   先弄清为什么现在还不能直接用综合除法。 这个方法是为形如 $x-c$、首项系数恰好为 $1$ 的除式设计的。这里的除式是 $-2x+1$，所以先把首项系数提出来：

   $-2x+1=-2\left(x-\tfrac{1}{2}\right)$

   这一步改写就是全部诀窍：先用表格除以首一的那部分 $x-\tfrac12$，事后再把因子 $-2$ 补回来。

2. 2

   取 $c=\tfrac12$，除以 $x-\tfrac12$。 缺少的 $x^2$ 项要补上零，系数依次是 $1,\;0,\;-7,\;6$：

   $\begin{array}{r|rrrr}\tfrac12 & 1 & 0 & -7 & 6\\[2pt] & & \tfrac12 & \tfrac14 & -\tfrac{27}{8}\\ \hline & 1 & \tfrac12 & -\tfrac{27}{4} & \tfrac{21}{8}\end{array}$

   于是 $x^3-7x+6=\left(x-\tfrac12\right)\left(x^2+\tfrac12 x-\tfrac{27}{4}\right)+\tfrac{21}{8}$，余数也与 $f\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac18-\tfrac72+6=\tfrac{21}{8}$ 吻合。

3. 3

   只把商除以 $-2$，余数不动。 因为 $x^3-7x+6=-2\left(x-\tfrac12\right)\cdot Q(x)+R$，所以对 $-2x+1$ 而言的商，就是刚才那个商除以 $-2$：

   $Q(x)=\frac{x^2+\tfrac12 x-\tfrac{27}{4}}{-2}=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x+\frac{27}{8}$

   余数原封不动。这种不对称正是大家最容易做错的地方：把除式放大若干倍，商会按倒数缩小，余数却不变，因为余数是一个只与点 $x=\tfrac12$ 绑定的常数。

4. 4

   写出除法等式，并说明余数是合规的。 把各部分拼起来，

   $x^3-7x+6=(-2x+1)\left(-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x+\frac{27}{8}\right)+\frac{21}{8}$

   余数 $\tfrac{21}{8}$ 的次数是 $0$，低于除式的次数，所以除法已经做完。

5. 5

   展开验算。 把右边逐项乘开：

   $(-2x)\left(-\tfrac12 x^2-\tfrac14 x+\tfrac{27}{8}\right)=x^3+\tfrac12 x^2-\tfrac{27}{4}x$

   $(1)\left(-\tfrac12 x^2-\tfrac14 x+\tfrac{27}{8}\right)=-\tfrac12 x^2-\tfrac14 x+\tfrac{27}{8}$

   相加后 $x^2$ 项抵消，且 $-\tfrac{27}{4}x-\tfrac14 x=-7x$，剩下 $x^3-7x+\tfrac{27}{8}$；再加上余数 $\tfrac{21}{8}$，常数项变成 $\tfrac{48}{8}=6$。所以这个恒等式确实还原出了 $x^3-7x+6\;\checkmark$。