x² + 3x + 6 = 1 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   定数項を移項して標準形にする。 両辺から $1$ を引く。

   $x^2+3x+5=0$

   定数項は $7$ ではなく $5$ になる。この手順を飛ばすのが最も多い誤りである。解の公式が要求する $c$ は、右辺をゼロにした形での定数項だからである。

2. 2

   判別式を計算する。 $a=1$、$b=3$、$c=5$ とすると

   $\Delta=3^2-4(1)(5)=9-20=-11$

   となる。判別式が負なら放物線は $x$ 軸に届かない。すなわち実数解は存在しない。（実際 $x^2+3x+6$ の最小値は $6-\frac94=3.75$ で、$1$ よりはるかに上にある。）

3. 3

   それでも複素数の範囲で解の公式を適用する。

   $x=\frac{-3\pm\sqrt{-11}}{2}$

4. 4

   負の平方根を $i$ で書き直す。 $\sqrt{-11}=i\sqrt{11}$ なので

   $x=\frac{-3\pm i\sqrt{11}}{2}$

   となる。2 つの解は互いに共役な複素数である。実数係数の二次方程式で $\Delta<0$ のときは常にそうなる。

5. 5

   和と積で検算する。 2 解の和は $-b/a=-3$ になるはずで、実際 $\frac{-3+i\sqrt{11}}{2}+\frac{-3-i\sqrt{11}}{2}=-3$ ✓。積は $c/a=5$ になるはずで

   $\frac{(-3)^2-\left(i\sqrt{11}\right)^2}{4}=\frac{9+11}{4}=5$ ✓