x/(x + 100) − (x + 25)/(x + 125) = 1/10 を解け。x についての制限を述べ、実数解が存在するかどうかも答えよ。

Step-by-step solution

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   まず制限を記録する。 分母は決して 0 になれないので、式変形を始める前に

   $x\neq-100,\qquad x\neq-125.$

   と書いておく。これらの値に当たる候補は最後に捨てねばならないので、いま書き留めておくほうが、後で気づくより安上がりである。

2. 2

   共通分母 $(x+100)(x+125)$ で 2 つの分数をまとめる。 分子をたすきに掛けると

   $\frac{x(x+125)-(x+25)(x+100)}{(x+100)(x+125)}=\frac{1}{10}.$

   となる。それぞれの積を別々に展開すると

   $x(x+125)=x^{2}+125x,\qquad (x+25)(x+100)=x^{2}+125x+2500.$

3. 3

   分子が定数につぶれるのを見る。 2 つの展開は定数項だけが違うので、$x^{2}$ と $125x$ の部分は完全に打ち消し合う。

   $\left(x^{2}+125x\right)-\left(x^{2}+125x+2500\right)=-2500.$

   方程式は

   $\frac{-2500}{(x+100)(x+125)}=\frac{1}{10}.$

   に帰着する。これが構造上の急所である。左辺は定数を二次式で割った形であり、$-2500<0$ だから左辺が正になるのは分母が負のとき、すなわち $-125<x<-100$ に限られる。

4. 4

   たすきに掛けて二次方程式にする。 $-25000=(x+100)(x+125)=x^{2}+225x+12500$ から

   $x^{2}+225x+37500=0.$

   判別式は

   $\Delta=225^{2}-4(1)(37500)=50625-150000=-99375<0,$

   なので、この二次方程式には実数解がなく、もとの方程式にも実数解は存在しない。

5. 5

   複素数解を与え、幾何的な理由も確かめる。 $99375=625\cdot159$ なので $\sqrt{-99375}=25i\sqrt{159}$ であり

   $x=\frac{-225\pm 25i\sqrt{159}}{2}.$

   である。どちらの解を代入し直しても $\tfrac{1}{10}$ がちょうど再現される。実数の範囲で成り立たない理由はこうである。$(-125,-100)$ 上で積 $(x+100)(x+125)$ の最小値は $-\left(\tfrac{25}{2}\right)^{2}=-156.25$ なので、そこでは $\frac{-2500}{(x+100)(x+125)}\ge 16$ となり、$0.1$ ほど小さくなることは決してない。