8x⁴ − 6x³ + 30x² − 18x + 18 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   共通の数の因数を外す。 係数はすべて偶数である：

   $8x^{4}-6x^{3}+30x^{2}-18x+18=2\left(4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9\right)$

   $2\neq 0$ なので、この方程式は $4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9=0$ と同値である。係数が小さくなると次の一手がずっと楽になる。

2. 2

   有理数解が存在しないことを確かめる。 候補は $p\mid 9$、$q\mid 4$ を満たす $\pm\frac{p}{q}$ である。係数の符号の並び方から、正の候補ではどれも値が正になり、負の候補でも値は正になる。したがって有理数の範囲では 1 次因数が存在しない。次に望みをかけるのは 2 つの 2 次式への因数分解である。

3. 3

   未定係数法を設定する。 定数項の積が $9$ でなければならないので、定数項を $3$ と $3$ にとって

   $4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9=\left(4x^{2}+bx+3\right)\left(x^{2}+ex+3\right)$

   を試す。展開すると

   $4x^{4}+(4e+b)x^{3}+(be+15)x^{2}+3(b+e)x+9$

   となる。

4. 4

   係数を比較して小さな連立方程式を解く。 目標の式と比べると：

   $4e+b=-3,\qquad be+15=15,\qquad 3(b+e)=-9$

   となる。真ん中の式から $be=0$ が強制されるので、$b=0$ または $e=0$ である。$e=0$ とすると 3 番目の式から $b=-3$ が得られ、1 番目の式も $4(0)+(-3)=-3$ ✓ で合う。したがって

   $4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9=\left(4x^{2}-3x+3\right)\left(x^{2}+3\right)$

   となる。

5. 5

   1 つ目の 2 次式を解く。 $4x^{2}-3x+3=0$ の判別式は

   $(-3)^{2}-4(4)(3)=9-48=-39<0$

   なので

   $x=\frac{3\pm i\sqrt{39}}{8}$

   である。

6. 6

   2 つ目の 2 次式を解いて結論する。 $x^{2}+3=0$ より $x=\pm i\sqrt3$ である。4 つの解はすべて実数ではないので、この 4 次方程式には 実数解がない——グラフが軸より上にとどまる（最小値が正である）ことと整合する。2 つの因数を掛け戻して 2 倍すると、$8x^4-6x^3+30x^2-18x+18$ がそのまま再現される ✓。