因数分解によって、−4x² + 20x − 24 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   何よりも先に負の最高次係数を処理する。 $-4x^2+20x-24$ をそのまま因数分解しようとすると、負の $a$ と共通因数を同時に扱うことになる。3 つの係数はいずれも $-4$ で割り切れるので、くくり出してしまう：

   $-4x^2+20x-24=-4\left(x^2-5x+6\right)$

   各項を $-4$ で割ると符号がすべて反転する：$-4x^2\div(-4)=x^2$、$20x\div(-4)=-5x$、$-24\div(-4)=6$。

2. 2

   中の 2 次式を因数分解する。 積が $6$、和が $-5$ となる 2 数は $-2$ と $-3$ である：

   $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

   よって方程式は $-4(x-2)(x-3)=0$ となる。

3. 3

   0 でない定数で割る。 文字で割る場合と違い、$-4$ で割るのは完全に安全である。$-4$ は決してゼロになり得ないので、解が失われることはない：

   $(x-2)(x-3)=0$

4. 4

   積が 0 になる条件を使う。

   $x-2=0\ \text{または}\ x-3=0\ \Longrightarrow\ x=2\ \text{または}\ x=3$

5. 5

   マイナス符号も含めて元の方程式で検算する。

   $-4(2)^2+20(2)-24=-16+40-24=0\quad\checkmark$

   $-4(3)^2+20(3)-24=-36+60-24=0\quad\checkmark$