因数分解計算機

因数分解とは、多項式を因数と呼ばれるより単純な式の積に分解するプロセスです。展開（掛け合わせて広げること）の逆の操作です。

例:

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

左辺は1つの多項式で、右辺は同じ式を2つの二項式の積として書いたものです。

因数分解は代数において不可欠です。次のことを可能にするからです。

• 方程式を解く: 各因数を0とおくと根が得られます。
• 分数を簡約する: 有理式の共通因数を約分します。
• 挙動を分析する: ゼロ点、漸近線、符号の変化を特定します。

多項式は、各因数が既約（整数の範囲でこれ以上因数分解できない）であるとき完全に因数分解されたといいます。代数学の基本定理は、$n$ 次のすべての多項式が複素数の範囲で正確に $n$ 個の一次因数に因数分解できることを保証します。

一般的な因数分解の種類:

• 最大公約数（GCF）を括り出す
• 三項式の因数分解
• 平方の差: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
• 立方の和・差
• グループ分けによる因数分解

主な因数分解の手法を、単純なものから高度なものへと順に示します。

1. GCF を括り出す

必ず最大公約数を取り出すことから始めます。

例: $6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)$

2. 平方の差

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

例: $x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$

3. 完全平方の三項式

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

例: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

4. 三項式の因数分解（$x^2 + bx + c$）

$p + q = b$ かつ $p \cdot q = c$ となる2つの数 $p$ と $q$ を見つけます。

$x^2 + bx + c = (x + p)(x + q)$

例: $x^2 - 5x + 6$: $p + q = -5$ かつ $pq = 6$ を見つける → $p = -2, q = -3$

よって $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

5. たすき掛け法（$a \neq 1$ の $ax^2 + bx + c$ 用）

$a \cdot c$ を掛け、掛けて $ac$、足して $b$ になる2つの数を見つけ、項を分けてグループ化します。

例: $2x^2 + 7x + 3$: $ac = 6$、$1 + 6 = 7$ を見つける

• $2x^2 + x + 6x + 3 = x(2x+1) + 3(2x+1) = (x+3)(2x+1)$

6. 立方の和・差

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

7. グループ分けによる因数分解

項をペアにまとめ、各ペアを因数分解し、共通の二項式を括り出します。

• 先に GCF を括り出すのを忘れる: 他の手法を使う前に必ず共通因数を確認してください。
• 平方の差と和を混同する: $a^2 - b^2$ は因数分解できますが、$a^2 + b^2$ は実数の範囲では因数分解できません。
• 三項式の因数分解での符号の誤り: $c > 0$ かつ $b < 0$ のとき、$p$ と $q$ はどちらも負です。
• 早く止めすぎる: 各因数がさらに因数分解できないか確認します（例: $x^4 - 16 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x+2)(x-2)$）。
• 展開して検証しない: 因数を掛け戻して、元の式と等しいことを必ず確認します。