連立不等式 −2 < 8 − 2x ≤ −1 を解け。

Step-by-step solution

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   3 つの部分をひとまとまりとして扱う。 すべての操作を3 つの部分すべてに施すかぎり、この形の不等式は一本の鎖のまま解ける。目標は真ん中を $x$ だけにすることである。

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   3 つの部分すべてから 8 を引く。 足し引きは不等号の向きを決して変えない：

   $-2-8<8-2x-8\le -1-8\quad\Rightarrow\quad -10<-2x\le -9$

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   3 つの部分すべてを $-2$ で割り、両方の不等号を反転させる。 負の数で割ると、それぞれの比較の向きが反転する：

   $\frac{-10}{-2}>x\ge\frac{-9}{-2}\quad\Rightarrow\quad 5>x\ge\frac92$

   $<$ も $\le$ も両方とも向きが変わる。片方だけを反転させるのが定番の誤りである。

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   小さい順に書き直す。 小さい数を左にして鎖を読み直すと：

   $\frac92\le x<5$

   狭義の端と広義の端が、それぞれ属する数に付いたまま位置を入れ替えている点に注意する。

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   端点と内部の点で検証する。 $x=\frac92$ では $8-9=-1$ で $-1\le -1$ が成り立つので、$\frac92$ は含まれる。$x=5$ では $8-10=-2$ で $-2<-2$ は偽なので、$5$ は除外される。$x=4.75$ では $8-9.5=-1.5$ で $-2<-1.5\le -1$ ✓。解集合は $\left[\frac92,5\right)$ である。