解不等式 |3x + 1| − 2x < |x − 4| + 5。

Step-by-step solution

1. 1

   先找出分界點。 每個絕對值都在裡面等於零的地方換公式：$3x+1=0$ 在 $x=-\frac13$，$x-4=0$ 在 $x=4$。這兩點把實數線切成三段，在每一段上兩個絕對值都能以固定的正負號拆開。

2. 2

   情形 1：$x<-\frac13$。 兩個絕對值裡面都是負的，所以 $|3x+1|=-3x-1$、$|x-4|=-x+4$：

   $(-3x-1)-2x<(-x+4)+5\quad\Rightarrow\quad -5x-1<-x+9\quad\Rightarrow\quad -10<4x\quad\Rightarrow\quad x>-\frac52$

   與 $x<-\frac13$ 取交集，得 $-\frac52<x<-\frac13$。

3. 3

   情形 2：$-\frac13\le x<4$。 此時 $3x+1\ge 0$，但 $x-4<0$：

   $3x+1-2x<-x+4+5\quad\Rightarrow\quad x+1<-x+9\quad\Rightarrow\quad 2x<8\quad\Rightarrow\quad x<4$

   這正好就是我們所在的範圍，所以整個區間 $\left[-\frac13,4\right)$ 都成立。

4. 4

   情形 3：$x\ge 4$。 兩個絕對值裡面都非負：

   $3x+1-2x<x-4+5\quad\Rightarrow\quad x+1<x+1$

   兩邊完全相等，而一個數永遠不會嚴格小於自己。所以這一情形沒有任何貢獻——注意若不等號是 $\le$ 而不是 $<$，整條射線 $x\ge 4$ 就都會成立。

5. 5

   把各情形取聯集。

   $\left(-\tfrac52,-\tfrac13\right)\cup\left[-\tfrac13,4\right)=\left(-\tfrac52,4\right)$

   分界點 $-\frac13$ 落在聯集的內部，所以那裡沒有漏掉任何東西。

6. 6

   檢查邊界與一個內部點。 在 $x=-\frac52$ 兩邊都等於 $\frac{23}{2}$，嚴格不等式不成立，端點要排除。在 $x=4$ 兩邊都等於 $5$——同樣排除，與情形 3 一致。在 $x=0$：左邊 $=1$，右邊 $=9$，而 $1<9$ 成立 ✓。解為 $-\frac52<x<4$。