解 |2x + 3| = 6x。

Step-by-step solution

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   先加上非負的限制條件。 左邊是絕對值，永遠不會是負的。所以右邊必須滿足

   $6x\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad x\ge0$

   這個限制不是可有可無的形式功夫——正是它讓兩種情形之一變得不可能；忘了它就會多出一個假答案。

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   情形 1：絕對值裡面非負，2x + 3 ≥ 0。 此時 $|2x+3|=2x+3$，於是

   $2x+3=6x\qquad\Longrightarrow\qquad 3=4x\qquad\Longrightarrow\qquad x=\frac34$

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   用兩個條件檢查這個候選解。 絕對值裡面：$2\left(\tfrac34\right)+3=\tfrac92\ge0$ ✓，與情形的假設相符。整體條件：$x=\tfrac34\ge0$ ✓。所以 $x=\tfrac34$ 是真解。

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   情形 2：絕對值裡面為負，2x + 3 < 0。 此時 $|2x+3|=-(2x+3)$，於是

   $-2x-3=6x\qquad\Longrightarrow\qquad -3=8x\qquad\Longrightarrow\qquad x=-\frac38$

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   從兩個角度否決第二個候選解。 它通不過整體限制 $x\ge0$，因為 $-\tfrac38<0$。它也違反自己那一情形的條件：$2\left(-\tfrac38\right)+3=\tfrac94>0$，並不是負的。直接代入更能確認：$\left|2\left(-\tfrac38\right)+3\right|=\tfrac94$，但 $6\left(-\tfrac38\right)=-\tfrac94$，而 $\tfrac94\neq-\tfrac94$。它是增根。

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   寫出並驗證答案。 唯一的解是

   $x=\frac34$

   檢查：$\left|2\left(\tfrac34\right)+3\right|=\left|\tfrac92\right|=\tfrac92$，而 $6\left(\tfrac34\right)=\tfrac92$ ✓。在 $[-3,3]$ 上掃描 $6001$ 個精確有理點，$\tfrac34$ 是唯一的解 ✓。