解不等式 (2x − 1)/3 − 4/(x + 2) > (x − 3)/6 + 1。

Step-by-step solution

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   先看定义域，同时定下策略。 $x+2 \neq 0$，所以 $x \neq -2$。因为未知数出现在分母里，唯一稳妥的办法是把所有项移到一边、对单个分式列符号表 —— 而不是两边同乘去分母。

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   先把三个多项式部分通分到分母 6 上。 暂时把 $\tfrac{4}{x+2}$ 那一项放一边，$\frac{2x-1}{3}-\frac{x-3}{6}-1 = \frac{2(2x-1)-(x-3)-6}{6} = \frac{4x-2-x+3-6}{6} = \frac{3x-5}{6}.$

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   把不等式收成一个分式。 现在它是 $\dfrac{3x-5}{6}-\dfrac{4}{x+2}>0$。取公分母 $6(x+2)$：$\frac{(3x-5)(x+2)-24}{6(x+2)} > 0.$ 分子展开：$3x^2+6x-5x-10-24 = 3x^2+x-34$；又因为 $6>0$，这个正因子可以直接去掉：$\frac{3x^2+x-34}{x+2} > 0.$

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   求分子的两个根。 $3x^2+x-34$ 在整数范围内分解不了（那两个数需要积为 $-102$、和为 $1$），所以改用求根公式：$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+408}}{6} = \frac{-1\pm\sqrt{409}}{6} \approx -3.5373 \ \text{和}\ 3.2040.$

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   在三个临界值上列符号表。 从小到大依次是：$\tfrac{-1-\sqrt{409}}{6} \approx -3.5373$，接着是 $-2$，再接着是 $\tfrac{-1+\sqrt{409}}{6} \approx 3.2040$。开口向上的抛物线在两根之外为正、两根之间为负，而 $x+2$ 在 $-2$ 处变号。于是四个区间上的符号依次是 $-,\,+,\,-,\,+$。

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   读出两个取正的区间并检验。 $x \in \left(\frac{-1-\sqrt{409}}{6},\ -2\right) \cup \left(\frac{-1+\sqrt{409}}{6},\ \infty\right).$ 代回原不等式：$x=-3$ 时左减右 $=+1.667>0$（在解集内）；$x=-1$ 时为 $-5.333$（不在）；$x=3$ 时为 $-0.133$（不在，就差一点没越过边界 $3.2040$）；$x=3.5$ 时为 $+0.189$（在）。所有端点都要排除，因为不等号是严格的，而 $x=-2$ 又不在定义域内。