不等式 (2x − 1)/(1 − x) ≥ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   たすきに掛けて分母を払ってはいけない。 両辺に $1-x$ を掛けるにはその符号を知る必要があるが、それは $x=1$ で変わる。分数不等式で安全なのは、分子と分母の零点から符号表を作る方法である。

2. 2

   臨界点を求める。

   $2x-1=0\Rightarrow x=\frac12\quad(\text{分子の零点}),\qquad 1-x=0\Rightarrow x=1\quad(\text{分母の零点、除外})$

   この 2 点が数直線を $\left(-\infty,\tfrac12\right)$、$\left(\tfrac12,1\right)$、$(1,\infty)$ に切り分ける。どの区間の内部でも式は符号を変えられない。

3. 3

   各区間で 1 つずつ値を試す。 $x=0$ では $\dfrac{-1}{1}=-1<0$。$x=\tfrac34$ では $\dfrac{3/2-1}{1/4}=\dfrac{1/2}{1/4}=2>0$。$x=2$ では $\dfrac{3}{-1}=-3<0$。よって符号の並びは負・正・負で、式が正になるのは真ん中の帯だけである。

4. 4

   点を落としやすい端点を決める。 $x=\tfrac12$ では分数が $\dfrac{0}{1/2}=0$ になり、$0\ge0$ は真なので $x=\tfrac12$ は含まれる。$x=1$ では分母が $0$ になって式が定義されないので、不等号がどちら向きであろうと $x=1$ は除かれる。

5. 5

   解を半開区間で書く。

   $\frac12\le x<1,\qquad\left[\frac12,\ 1\right)$

   2 つの括弧が非対称であること、それがこの問題の中身のすべてである。

6. 6

   走査して検算する。 $[-3,3]$ 上の $6001$ 点（$x=1$ は飛ばす）で分数を計算し、主張した区間と突き合わせると食い違いは 0 であった ✓。