不等式 (2x + 1)/(x − 4) < 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   商が負になるのはどんなときかを押さえる。 分数が負になるのは、分子と分母の符号が逆のときちょうどである。だから、たすきに掛ける（$x-4$ が符号を変えるので、それは正当でない）のではなく、各部分の符号を別々に追いかける。

2. 2

   臨界点を求める。

   $2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12\quad(\text{分子の零点}),\qquad x-4=0\Rightarrow x=4\quad(\text{分母の零点})$

   分数が符号を変えうるのはこの 2 値だけなので、数直線は $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$、$\left(-\tfrac12,4\right)$、$(4,\infty)$ に分かれる。

3. 3

   各区間で 1 点ずつ試す。 $x=-1$ では $\dfrac{-1}{-5}=0.2>0$（どちらも負）。$x=0$ では $\dfrac{1}{-4}=-0.25<0$（符号が逆）。$x=5$ では $\dfrac{11}{1}=11>0$（どちらも正）。負になるのは真ん中の区間だけである。

4. 4

   理由の異なる 2 つの端点を、それぞれ処理する。 $x=-\tfrac12$ では分数が $0$ に等しく、不等号は等号を含まない（$\le0$ ではなく $<0$）ので $0$ は条件を満たさない。$x=4$ では分数が定義されない。よって両端とも開いている。

5. 5

   解を述べる。

   $-\frac12<x<4,\qquad\left(-\frac12,\ 4\right)$

   多くの分数不等式と違って、ここでは両方の括弧がたまたま開いている。しかしその理由はまったく別の 2 つであり、そこに気づく価値がある。

6. 6

   厳密な計算で検算する。 浮動小数ではなく分数のまま、$[-10,10]$ 上の $12001$ 個の有理点で（$x=4$ は飛ばして）分数を計算すると、不等式が成り立つのはちょうど $\left(-\tfrac12,4\right)$ の点だけで、それ以外にはない ✓。