不等式 3/(x − 2) > 1 を解き、解を区間で表せ。

Step-by-step solution

1. 1

   両辺に $x-2$ を掛けてはいけない。 その符号は分からない。$x>2$ なら正（不等号の向きは保たれる）、$x<2$ なら負（向きは逆になる）である。場合分けせずに掛けるのが、この問題を間違えるいちばんよくある道である。それをやると黙って $3>x-2$、すなわち $x<5$ が出てきて、$2$ より下をすべて誤って含んでしまう。

2. 2

   代わりにすべてを片側に移す。 1 を引いて共通分母 $x-2$ でまとめる。

   $\frac{3}{x-2}-1>0\ \Longrightarrow\ \frac{3-(x-2)}{x-2}>0\ \Longrightarrow\ \frac{5-x}{x-2}>0$

   これで問いは 1 つの商の符号だけの話になり、符号の分からない量を掛ける操作はどこにもない。

3. 3

   臨界点を挙げ、零点と定義されない点を区別する。 分子は $5-x=0\Rightarrow x=5$ で 0 になり、分母は $x=2$ で 0 になってそこでは式が定義されない。どちらも数直線を分けるが、解集合に入りうるのは一方だけである。

4. 4

   3 つの区間それぞれで値を試す。

   $x=0:\ \frac{5}{-2}<0\ \times\qquad x=3:\ \frac{2}{1}>0\ \checkmark\qquad x=6:\ \frac{-1}{4}<0\ \times$

   効くのは真ん中の区間だけである。

5. 5

   端点を正しく決めて解を組み立てる。 $x=2$ はそこで式が定義されないので除かれ、$x=5$ は商が $0$ に等しく不等号が等号を含まないので除かれる。

   $2<x<5,\qquad (2,5)$

6. 6

   端で確かめる。 $x=2.5$ では $\dfrac{3}{0.5}=6>1$ ✓。$x=5$ では $\dfrac{3}{3}=1$ で $1$ より大きくないので、$5$ は正しく除かれている ✓。$x=1$ では $\dfrac{3}{-1}=-3>1$ が偽であり、これこそ不用意に分母を払ったときに誤って入れてしまう領域である。