不等式 (2x − 1)/(1 − x) ≥ 1 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   1 − x を掛けてたすきに払ってはいけない。 その符号は $x=1$ で入れ替わるので、掛けるとその点の片側で不等号が黙って裏返ってしまう。正しい第一手は、1 つの分数を 0 と比べる形に持ち込むことである。

2. 2

   1 を引いて共通分母でまとめる。

   $\frac{2x-1}{1-x}-\frac{1-x}{1-x}\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{2x-1-(1-x)}{1-x}\ge0$

   分子は丁寧に展開する。マイナス記号は両方の項に効く。

   $2x-1-1+x=3x-2$

   よって不等式は $\dfrac{3x-2}{1-x}\ge0$ になる。

3. 3

   新しい分数の臨界点を求める。

   $3x-2=0\Rightarrow x=\frac23,\qquad 1-x=0\Rightarrow x=1\ (\text{除外})$

   $1$ を引いたことで、分子の零点が（この問題の $\ge0$ 版での）$\tfrac12$ から $\tfrac23$ へ動いたことに注目したい。

4. 4

   3 つの区間を試す。 $x=0$ では $\dfrac{-2}{1}=-2<0$。$x=\tfrac34$ では $\dfrac{9/4-2}{1/4}=\dfrac{1/4}{1/4}=1>0$。$x=2$ では $\dfrac{4}{-1}=-4<0$。よって条件を満たすのは $\left(\tfrac23,1\right)$ だけである。

5. 5

   端点を決める。 $x=\tfrac23$ では変形後の分数がちょうど $0$ になるので、等号つきの $\ge$ はこれを含む。言い換えれば、そこではもとの分数がちょうど $1$ に等しい。$x=1$ では式が定義されないので、こちらは除かれる。

6. 6

   答えを述べて検算する。

   $\frac23\le x<1,\qquad\left[\frac23,\ 1\right)$

   $[-3,3]$ 上の $18001$ 個の有理点（$x=1$ は飛ばす）で厳密な分数のまま確かめると食い違いは 0 であり、$x=\tfrac23$ ではもとの左辺がちょうど $1$ になる ✓。