Resuelve la inecuación 4x² − 4x + 1 ≤ 0.

Step-by-step solution

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   Comprobar el discriminante antes que nada. Con $a=4$, $b=-4$, $c=1$:

   $\Delta=(-4)^2-4(4)(1)=16-16=0$

   Un discriminante nulo significa una raíz doble: la parábola toca al eje en un único punto en lugar de cruzarlo. Ese solo hecho determina toda la respuesta.

2. 2

   Reconocer el cuadrado perfecto. Los términos extremos son $(2x)^2$ y $1^2$, y el término central es $-2\cdot(2x)\cdot1=-4x$ ✓, de modo que

   $4x^2-4x+1=(2x-1)^2$

   La inecuación pasa a ser $(2x-1)^2\le0$.

3. 3

   Aplicar la propiedad fundamental de los cuadrados. Para todo $x$ real,

   $(2x-1)^2\ge0$

   Al combinarla con la exigencia $(2x-1)^2\le0$, las dos condiciones obligan a que se encuentren:

   $(2x-1)^2=0$

4. 4

   Resolver la ecuación resultante.

   $2x-1=0\qquad\Longrightarrow\qquad x=\frac12$

   Así que el conjunto solución es el único punto $\left\{\tfrac12\right\}$, no un intervalo: una forma de respuesta que conviene notar, porque casi cualquier otra inecuación cuadrática da un intervalo o una unión de dos.

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   Comparar con lo que daría una desigualdad estricta. Si el problema hubiera sido $4x^2-4x+1<0$, la respuesta sería el conjunto vacío, ya que un cuadrado nunca es estrictamente negativo. Y $4x^2-4x+1\ge0$ lo cumpliría cualquier número real. Las tres variantes tienen respuestas radicalmente distintas partiendo del mismo trinomio.

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   Verificar. Comprobar $(2x-1)^2=4x^2-4x+1$ en $60$ valores racionales exactos confirma la identidad ✓, y recorrer $6001$ puntos racionales de $[-3,3]$ encuentra que $x=\tfrac12$ es el único valor que satisface la desigualdad ✓.