Resolvedor de inecuaciones

Una inecuación es un enunciado matemático que compara dos expresiones usando uno de los símbolos:

• $<$ (menor que)
• $>$ (mayor que)
• $\leq$ (menor o igual que)
• $\geq$ (mayor o igual que)

A diferencia de las ecuaciones (que preguntan «¿qué valores hacen iguales ambos lados?»), las inecuaciones preguntan «¿qué valores hacen que un lado sea mayor (o menor) que el otro?»

Por ejemplo, la inecuación:

$2x - 5 > 3$

pregunta: ¿para qué valores de $x$ es $2x - 5$ mayor que $3$?

La solución de una inecuación suele ser un rango de valores (un intervalo), no un único número. Las soluciones a menudo se expresan en notación de intervalo:

• $(a, b)$: todos los valores estrictamente entre $a$ y $b$
• $[a, b]$: todos los valores de $a$ a $b$, ambos incluidos
• $(-\infty, a) \cup (b, \infty)$: todos los valores menores que $a$ o mayores que $b$

Las inecuaciones son fundamentales en optimización, problemas de restricciones y para determinar dominios y rangos de funciones.

1. Inecuaciones lineales

Se resuelven como una ecuación lineal, con una regla crucial: invertir el signo de la inecuación al multiplicar o dividir por un número negativo.

Ejemplo: Resuelve $2x - 5 > 3$

1. Suma 5: $2x > 8$
2. Divide entre 2: $x > 4$

Solución: $(4, \infty)$

Ejemplo con inversión de signo: Resuelve $-3x + 6 \leq 12$

1. Resta 6: $-3x \leq 6$
2. Divide entre $-3$ (¡invierte!): $x \geq -2$

2. Inecuaciones cuadráticas

Resuelve primero la ecuación correspondiente y luego prueba los intervalos.

Ejemplo: Resuelve $x^2 - 4x - 5 > 0$

1. Factoriza: $(x - 5)(x + 1) > 0$
2. Puntos críticos: $x = -1$ y $x = 5$
3. Prueba los intervalos:
   • $x < -1$: $(-)(-) = (+) > 0$ ✓
   • $-1 < x < 5$: $(-)(+) = (-) < 0$ ✗
   • $x > 5$: $(+)(+) = (+) > 0$ ✓

Solución: $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

3. Inecuaciones racionales

Halla dónde se anulan el numerador y el denominador (puntos críticos), luego prueba el signo en cada intervalo. Nunca multipliques ambos lados por una expresión que pueda ser negativa.

4. Inecuaciones con valor absoluto

• $|x| < a$ significa $-a < x < a$
• $|x| > a$ significa $x < -a$ o $x > a$

5. Método del cuadro de signos

Para inecuaciones polinómicas/racionales, construye un cuadro de signos que muestre el signo de cada factor en cada intervalo.

• Olvidar invertir el signo de la inecuación: Cuando multiplicas o divides ambos lados por un número negativo, debes invertir el sentido de la inecuación.
• Incluir mal los puntos críticos: En las inecuaciones estrictas ($<$, $>$), los puntos críticos NO se incluyen. En $\leq$ o $\geq$, sí.
• Multiplicar por una variable sin considerar su signo: Si multiplicas ambos lados por $x$, debes considerar por separado los casos $x > 0$ y $x < 0$.
• Tratar mal las inecuaciones compuestas: Para $a < f(x) < b$, resuelve ambas partes simultáneamente, no de forma independiente.
• Escribir la solución con la notación equivocada: Usa paréntesis para las inecuaciones estrictas y corchetes para las inclusivas.