不等式 (2 − 3x)(2x + 1) ≥ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   因数分解された形のまま扱い、展開しない。 式はすでに 2 つの一次式の積であり、積の符号は各因数の符号だけで完全に決まる。$-6x^2+x+2$ に展開しても手間が増えるだけである。

2. 2

   各因数が 0 になる場所を求める。

   $2-3x=0\Rightarrow x=\frac23,\qquad 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12$

   この臨界点が数直線を $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$、$\left(-\tfrac12,\tfrac23\right)$、$\left(\tfrac23,\infty\right)$ の 3 つに分ける。

3. 3

   各区間で 1 点ずつ試す。 $x=-1$ では $(2+3)(-2+1)=(5)(-1)=-5<0$。$x=0$ では $(2)(1)=2>0$。$x=1$ では $(-1)(3)=-3<0$。よって符号の並びは負・正・負である。

4. 4

   この並びを最高次の係数から説明する。 展開すれば最高次の項は $-6x^2$、すなわち上に凸の放物線になる。上に凸の放物線は 2 解の間で正、外側で負であり、ふつうの場合とちょうど鏡写しになる。反射的に「解の外側」と書いてしまうのがここでの典型的な誤りである。

5. 5

   等号つきの不等号なので端点を含める。 $x=-\tfrac12$ と $x=\tfrac23$ では積がちょうど $0$ になり、$\ge0$ を満たす。よって解は次の閉区間である。

   $-\frac12\le x\le\frac23$

6. 6

   走査して検算する。 $-3$ から $3$ までの $6001$ 点で積を計算し、主張した区間と突き合わせるとすべての点で一致する ✓。両端点ではちょうど $0$ が返る ✓。