不等式 x² − 2x − 1 > 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず因数分解を試し、なぜうまくいかないかを見る。 $-1$ の整数の約数は $\pm1$ しかなく、和が $-2$ になる組は作れない。つまりこの三項式は整数の範囲では因数分解できず、境界の点は因数分解ではなく解の公式から出すしかない。

2. 2

   対応する方程式を解の公式で解く。 $a=1$、$b=-2$、$c=-1$ として

   $x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-1)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt2}{2}=1\pm\sqrt2$

   判別式 $8$ は正だが平方数ではないので、境界は無理数になる。

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   境界の数値を押さえておく。 $1-\sqrt2\approx-0.4142$、$1+\sqrt2\approx2.4142$ である。小数を手元に置いておくと、符号の議論も最後の検算も具体的になる。

4. 4

   符号表の代わりに、放物線の開く向きを使う。 最高次の係数 $a=1$ は正なので、グラフはこの 2 点で軸を横切る下に凸の放物線である。下に凸の放物線は 2 解の間で負、外側で正になる。不等式が求めているのは $>0$ なので、外側をとる。

   $x<1-\sqrt2\qquad\text{または}\qquad x>1+\sqrt2$

5. 5

   試験点で確かめる。 $x=0$（内側）では $0-0-1=-1<0$ となり、正しく除かれている。$x=-1$（左側）では $1+2-1=2>0$ ✓。$x=3$（右側）では $9-6-1=2>0$ ✓。

6. 6

   等号を含まないことに注意して区間で書く。 不等号は等号を含まないので、式がちょうど $0$ になる解そのものは除かれる。

   $(-\infty,\,1-\sqrt2)\cup(1+\sqrt2,\,\infty)$

   $[-6,6]$ 全体にわたる $1201$ 点の走査は、すべての点でこの集合と一致する ✓。