不等式 (x + 1)(x − 3) > 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   因数分解された形のままにしておく。 積は 2 つの因数の符号が同じとき正、異なるとき負になる。$x^2-2x-3$ に展開すると、この問題を易しくしているまさにその情報を捨てることになる。

2. 2

   各因数の零点を求める。

   $x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   積が符号を変えうるのはこの 2 点だけなので、ここで数直線が $(-\infty,-1)$、$(-1,3)$、$(3,\infty)$ に切り分けられる。

3. 3

   各区間で 1 つずつ値を試す。 $x=-2$ では $(-1)(-5)=5>0$（どちらも負）。$x=0$ では $(1)(-3)=-3<0$（符号が異なる）。$x=4$ では $(5)(1)=5>0$（どちらも正）。並びは正・負・正である。

4. 4

   グラフの形からこの並びを裏づける。 展開したときの最高次の係数は $+1$ なので放物線は下に凸であり、2 解の間で軸より下に沈み、外側で上に出る。これは試験値で見つけた符号の並びとぴったり一致し、独立した検算として役に立つ。

5. 5

   区間を選び、解そのものは除く。 不等号は等号を含まないので、積がちょうど $0$ になる点は数に入らない。

   $x<-1\qquad\text{または}\qquad x>3,\qquad(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$

6. 6

   走査して検算する。 $-10$ から $10$ までの $2001$ 点で積を計算し、主張した解集合と突き合わせると、1 点残らず一致する ✓。