不等式 (2 − x)(2x − 3) > 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   因数分解された形のまま零点を求める。 積の符号は因数で決まるので展開しない。

   $2-x=0\Rightarrow x=2,\qquad 2x-3=0\Rightarrow x=\frac32$

   これで数直線が $\left(-\infty,\tfrac32\right)$、$\left(\tfrac32,2\right)$、$(2,\infty)$ に分かれる。

2. 2

   各区間で 1 点ずつ試す。 $x=0$ では $(2)(-3)=-6<0$。$x=1.75$（2 解の間）では $(0.25)(0.5)=0.125>0$。$x=3$ では $(-1)(3)=-3<0$。符号の並びは負・正・負である。

3. 3

   この並びを最高次の係数から説明する。 もし展開すれば最高次の項は $(-x)(2x)=-2x^2$ となり、上に凸の放物線である。上に凸の放物線は 2 解の間で正、外側で負であり、見慣れた場合の鏡写しになる。習慣で「解の外側」と書いてしまうのがここでの定番の誤りである。

4. 4

   どちらの解が小さいかに注意して、2 解の間の区間をとる。 $\tfrac32=1.5<2$ なので

   $\frac32<x<2$

5. 5

   端点は除く。 不等号は等号を含まないので、積がちょうど $0$ になる 2 点は解集合に入らない。区間で書けば $\left(\tfrac32,2\right)$ で、幅はわずか $\tfrac12$ の開区間である。

6. 6

   走査して検算する。 $[-5,5]$ 上の $10{,}001$ 点で積を厳密な分数のまま計算し、$\left(\tfrac32,2\right)$ と突き合わせるとすべての点で一致する ✓。