a > 0 のとき、不等式 ax² − (2a − 1)x + 2 ≥ 2x を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   すべてを左辺に集める。 $2x$ を引くと 2 つの 1 次の項が合流する：

   $ax^{2}-\left[(2a-1)+2\right]x+2\ge 0\ \Longrightarrow\ ax^{2}-(2a+1)x+2\ge 0$

2. 2

   2 次式を因数分解する。 $(x-2)(ax-1)$ と当たりを付け、展開して確かめる：

   $(x-2)(ax-1)=ax^{2}-x-2ax+2=ax^{2}-(2a+1)x+2\ \checkmark$

   よって不等式は $(x-2)(ax-1)\ge 0$ である。

3. 3

   最高次の係数を 1 に直す。 $a>0$ なので $a$ で割っても不等号は反転せず、$ax-1=a\left(x-\tfrac1a\right)$ であるから：

   $(x-2)\left(x-\frac{1}{a}\right)\ge 0$

   解は $2$ と $\tfrac1a$ であり、放物線は下に凸なので解の外側が解集合になる——ただし、どちらの解が左に来るかは $a$ による。

4. 4

   場合 $0<a<\tfrac12$（したがって $\tfrac1a>2$）。 解を小さい順に並べると $2<\tfrac1a$ なので、

   $\left(-\infty,2\right]\cup\left[\frac{1}{a},+\infty\right)$

   となる。$a=\tfrac14$（解は $2$ と $4$）で確かめると、$x=0$ では式の値が $2\ge 0$ ✓、$x=3$ では $-\tfrac14<0$ ✗、$x=5$ では $\tfrac34\ge 0$ ✓ である。

5. 5

   場合 $a=\tfrac12$（したがって $\tfrac1a=2$）。 2 つの解が一致し、不等式は $\tfrac12(x-2)^{2}\ge 0$ となって、どの実数についても成り立つ：

   $x\in\mathbb{R}$

6. 6

   場合 $a>\tfrac12$（したがって $\tfrac1a<2$）。 今度は $\tfrac1a$ のほうが小さい解である：

   $\left(-\infty,\frac{1}{a}\right]\cup\left[2,+\infty\right)$

7. 7

   3 つの分岐をまとめる。 答え全体は $\tfrac1a$ と $2$ という 1 つの大小比較、すなわち $a<\tfrac12$ か $a=\tfrac12$ か $a>\tfrac12$ かにかかっている。これは、解がパラメータに依存する 2 次不等式に共通の定石である。