不等式 m − x^2 ≤ 1 − x が正の解をもつ。m はどのような値をとりうるか。

Step-by-step solution

1. 1

   変数ではなくパラメータを分離する。 問われているのは $m$ についてなので、不等式を $m$ について解く。

   $m-x^{2}\le 1-x\ \Longleftrightarrow\ m\le x^{2}-x+1$

   これで条件は「$f(x)=x^{2}-x+1$ として、$m\le f(x)$ を満たす $x>0$ が 存在する」と読める。

2. 2

   「存在する」を値域についての条件に翻訳する。 $m$ が条件を満たすのは、$m$ が $x>0$ における $f$ の ある 値以下であるとき、すなわち

   $m\le \sup_{x>0}f(x)$

   のときに限る。この段階で問題の帰趨が決まる。ここで「解をもつ」（存在）と「すべての $x>0$ で成り立つ」（全称）を混同してはならない。全称版なら代わりに $m\le\min_{x>0}f(x)$ が要求される。

3. 3

   正の範囲で $f$ を調べる。 平方完成すると

   $f(x)=x^{2}-x+1=\left(x-\frac12\right)^{2}+\frac34$

   なので、$f$ は $x=\tfrac12$（これは $x>0$ に含まれる）で最小値 $\tfrac34$ をとり、$x\to+\infty$ で $f(x)\to+\infty$ となる。したがって $x>0$ での値域は $\left[\tfrac34,+\infty\right)$ で、上に有界でない。

4. 4

   判定条件を当てはめる。 $\sup_{x>0}f(x)=+\infty$ なので、条件 $m\le f(x)$ は常に満たせる。$m$ が何であれ、$x^{2}-x+1\ge m$ となるほど大きい $x$ をとればよい。

   $m\in\mathbb{R}$

5. 5

   具体的な証拠を挙げる。 任意の $m$ に対して $x=\max(1,m)$ をとる。すると $f(x)=x^{2}-x+1=x(x-1)+1\ge 1$ であり、$x\ge 1$ である限り $f(x)\ge x\ge m$ となるので、その $x$ が正の解になる。たとえば $m=100$ は $x=100$ で満たされる。$100^{2}-100+1=9901\ge 100$ だからである。

6. 6

   「すべての」版と対比する。 もし問題が あらゆる $x>0$ について不等式が成り立つと述べていたなら、答えは代わりに $m\le\tfrac34$ になる——上限ではなく最小値である。量化子を正しく読むことが、この問題の難しさのすべてである。