不等式 (x − 1)(x − 3) > 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   すでに因数分解されていることを活かす。 実数の積が正になるのは 2 つの因数の符号が一致するときに限られるので、展開する代わりに、各因数がどこで符号を変えるかだけ分かればよい。

2. 2

   臨界点を求める。 各因数を 0 とおくと

   $x-1=0\Rightarrow x=1,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   この 2 つの値が数直線を 3 つの試験区間 $(-\infty,1)$、$(1,3)$、$(3,\infty)$ に切り分ける。

3. 3

   符号表を作る。 各区間から試験値を 1 つずつ選び、各因数の符号を記録する。

   区間	$x-1$	$x-3$	積
   $(-\infty,1)$、例 $x=0$	$-$	$-$	$+$
   $(1,3)$、例 $x=2$	$+$	$-$	$-$
   $(3,\infty)$、例 $x=4$	$+$	$+$	$+$

   試験値からは $(0-1)(0-3)=3$、$(2-1)(2-3)=-1$、$(4-1)(4-3)=3$ が得られ、最後の列を裏づけている。

4. 4

   不等式に合う区間を選ぶ。 求めるのは積が 0 より大きい場合なので、$+$ の 2 行をとる。

   $x<1\quad\text{または}\quad x>3$

5. 5

   端点をどうするか決める。 不等号は等号を含まず（$\ge 0$ ではなく $>0$）、$x=1$ と $x=3$ では積が $0$ に等しい。よってどちらの解も除かれ、区間は開区間になる。

   $(-\infty,1)\cup(3,\infty)$

6. 6

   放物線で突き合わせる。 展開すると $y=x^{2}-4x+3$ で、頂点が $x=2$、$y=-1$ の下に凸の放物線である。下に凸の放物線は 2 解の外側で軸より上にある。まさに得られた答えのとおりである。