不等式 ax² + (3a − 4)x − 12 ≥ 0 の解集合を、定数 a のすべての場合について論じて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず退化した場合 a = 0 を切り離す。 $x^2$ の係数がパラメータそのものなので、この不等式はつねに 2 次とは限らない。$a = 0$ なら 1 次不等式に退化する：

   $-4x - 12 \ge 0 \quad \Longrightarrow \quad x \le -3$

   解集合は $(-\infty, -3]$ である。以降の場合はすべて $a \ne 0$ を仮定する。

2. 2

   判別式を計算し、それが完全平方であることに気づく。 $a \ne 0$ のとき、

   $\Delta = (3a-4)^2 + 48a = 9a^2 - 24a + 16 + 48a = 9a^2 + 24a + 16 = (3a+4)^2$

   である。どの実数 $a$ に対しても $\Delta \ge 0$ なので、この 2 次式はつねに実数解を持ち、「実数解なし」の分岐は不要である。これがこの問題を支える構造上の要点である。

3. 3

   2 つの解を厳密に取り出す。

   $x = \frac{4 - 3a \pm |3a+4|}{2a} \quad \Longrightarrow \quad x_1 = \frac{8}{2a} = \frac{4}{a}, \qquad x_2 = \frac{-6a}{2a} = -3$

   つまり一方の解はどの $a$ に対しても $x = -3$ に固定され、もう一方が $a$ とともに動く。したがって

   $ax^2 + (3a-4)x - 12 = a(x+3)\left(x - \frac{4}{a}\right)$

   であり、展開し直せば $ax^2 + 3ax - 4x - 12$ ——もとの式に戻る。

4. 4

   場合 a > 0：放物線は下に凸。 このとき $4/a > 0 > -3$ なので解の順序は $-3 < 4/a$ であり、式が非負になるのは解の外側である：

   $x \le -3 \quad \text{または} \quad x \ge \frac{4}{a}, \qquad \text{すなわち} \quad (-\infty,-3] \cup \left[\tfrac{4}{a}, +\infty\right)$

5. 5

   場合 a < 0：放物線は上に凸なので、2 つの解の大小を比べる。 今度は式が非負になるのは解のあいだであり、$-3$ と $4/a$ の順序は $a$ による。$4/a = -3 \iff a = -\tfrac43$ なので：

   $-\tfrac43 < a < 0: \ \ \frac4a < -3 \ \Longrightarrow \ \left[\tfrac4a,\, -3\right]$

   $a = -\tfrac43: \ \ \frac4a = -3 \ \Longrightarrow \ \{-3\} \ \ (\Delta = 0,\ \text{1 点のみ})$

   $a < -\tfrac43: \ \ -3 < \frac4a \ \Longrightarrow \ \left[-3,\, \tfrac4a\right]$

   真ん中の場合は見落としやすい。$a = -\tfrac43$ では 2 つの解が合流し、解集合は 1 点に縮む。

6. 6

   答え全体をまとめる。

   $a = 0:\ (-\infty,-3] \qquad a > 0:\ (-\infty,-3]\cup\left[\tfrac4a,\infty\right)$

   $a < 0:\ \left[\min\left(-3,\tfrac4a\right),\ \max\left(-3,\tfrac4a\right)\right]$

   $a = 2$ で抜き取り検査すると、不等式は $2x^2+2x-12 \ge 0$ すなわち $2(x+3)(x-2) \ge 0$ となり、予測どおり $x \le -3$ または $x \ge 2 = 4/a$ が得られる。