求 (8x³ − 6x² − 5x + 3) 除以 (2x − 5) 的商。

Step-by-step solution

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   先處理首項係數不是 1 的除式。 因為 $2x-5$ 的首項是 $2x$，每一項商都要用當下的最高次項去除以 $2x$。被除式四個次方都在，所以不需要補任何缺項。

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   第一輪。 $\dfrac{8x^3}{2x}=4x^2$。乘回去：$4x^2(2x-5)=8x^3-20x^2$。相減：$-6x^2-(-20x^2)=14x^2$，把 $-5x$ 拉下來得到 $14x^2-5x$。

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   第二輪。 $\dfrac{14x^2}{2x}=7x$。乘回去：$7x(2x-5)=14x^2-35x$。相減：$-5x-(-35x)=30x$，把 $+3$ 拉下來得到 $30x+3$。

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   第三輪。 $\dfrac{30x}{2x}=15$。乘回去：$15(2x-5)=30x-75$。相減：$3-(-75)=78$，是個常數，所以除法到此結束。

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   寫出結果。 $\dfrac{8x^3-6x^2-5x+3}{2x-5}=4x^2+7x+15+\dfrac{78}{2x-5}$；餘式 $78\neq 0$ 說明 $2x-5$ 不是因式。

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   兩種方式檢驗。 乘回去：$(2x-5)(4x^2+7x+15)+78=8x^3+14x^2+30x-20x^2-35x-75+78=8x^3-6x^2-5x+3$。另一種是把被除式在除式的根 $x=\tfrac52$ 求值：$8\cdot\tfrac{125}{8}-6\cdot\tfrac{25}{4}-\tfrac{25}{2}+3=125-37.5-12.5+3=78$，正好是餘式。