写出经过点 (−6, 5) 且斜率为 2/3 的直线方程。

Step-by-step solution

1. 1

   从点斜式出发。 已知一点 $(x_1,y_1)$ 与斜率 $m$，直线就是

   $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$

   写出这个形式不需要任何代数运算——全部功夫都在之后的化简上。

2. 2

   代入已知值，当心双重负号。 取 $x_1=-6$、$y_1=5$、$m=\tfrac23$：

   $y-5=\frac{2}{3}\left(x-(-6)\right)=\frac{2}{3}(x+6)$

   在这里把 $(x+6)$ 误写成 $(x-6)$ 是最常见的错误，会让直线在竖直方向上整整偏移八个单位。

3. 3

   把斜率乘进括号。 分数正好约得干净，因为 $6$ 是 $3$ 的倍数：

   $y-5=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\cdot 6=\frac{2}{3}x+4$

4. 4

   解出 $y$，化成斜截式。

   $y=\frac{2}{3}x+4+5=\frac{2}{3}x+9$

   可见斜率是 $\tfrac23$，$y$ 轴截距是 $(0,9)$。

5. 5

   验证这个点确实落在直线上。 代入 $x=-6$：

   $y=\frac{2}{3}(-6)+9=-4+9=5\;\checkmark$

   再验一次斜率：从 $x=-6$ 移到 $x=-3$（水平走 $3$），$y$ 从 $5$ 升到 $7$（竖直升 $2$），比值正是 $\tfrac{2}{3}\;\checkmark$。写成一般式，同一条直线是 $2x-3y=-27$。