斜截式计算器

二元线性方程的斜截式为：

$y = mx + b$

其中：

• $m$ 是斜率——直线上升或下降的陡峭程度。斜率 $= \dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$。
• $b$ 是 y 截距——直线与 y 轴相交处的 $y$ 值（即点 $(0, b)$）。

这种形式为何特殊：它一眼就能读出两个几何信息——斜率和 y 截距——无需任何计算。相比之下，一般式 $Ax + By = C$ 把两者都隐藏了。

斜截式是绘制直线、比较平行/垂直关系，以及根据描述写出方程时的首选工作形式。

情况 1：由一般式方程

给定 $Ax + By = C$，解出 $y$：

$By = -Ax + C \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$

所以 $m = -A/B$，$b = C/B$。

情况 2：由两点

给定 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$：

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

然后用其中一点解出 $b$：

$b = y_1 - m x_1$

情况 3：由斜率和一点

给定斜率 $m$ 和一点 $(x_0, y_0)$：

$b = y_0 - m x_0$

情况 4：由图像

直接从直线与 y 轴相交处读出 y 截距。再取另一个格点，数出 $\text{rise} / \text{run}$ 求出 $m$。

特殊情况

• 水平线 $y = c$：斜率 $m = 0$，y 截距 $b = c$。
• 垂直线 $x = c$：斜率不存在。无法写成 $y = mx + b$。

平行线与垂直线

两条直线 $y = m_1 x + b_1$ 和 $y = m_2 x + b_2$：

• 平行当且仅当 $m_1 = m_2$（斜率相同，截距不同）
• 垂直当且仅当 $m_1 m_2 = -1$（斜率互为负倒数）

• 斜率符号错误：$m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$。$y$ 的相减顺序要与 $x$ 一致。只反转其中一个会使符号出错。
• 除以零：若 $x_1 = x_2$，直线是垂直的——斜率不存在，没有斜截式。
• 混淆 y 截距与 x 截距：$b$ 是 y 截距。x 截距由令 $y = 0$ 解出 $x$ 求得。
• 忘记除以 $B$：把 $Ax + By = C$ 转为斜截式时，必须把每一项都除以 $B$，不只是 $y$ 项。
• 垂直斜率求错：垂直意味着 $m_1 m_2 = -1$，所以 $m_2 = -1/m_1$。只翻转符号或只取倒数都不够。