求直线 (0,0) + a·(3, 1) 上离点 (1, 4) 最近的点。

Step-by-step solution

1. 1

   用正交投影。 过原点的直线上离得最近的点，就是 $\mathbf p$ 在方向 $\mathbf d$ 上的投影：

   $\operatorname{proj}_{\mathbf d}\mathbf p=\frac{\mathbf p\cdot\mathbf d}{\mathbf d\cdot\mathbf d}\,\mathbf d$

   它的特征性质是：残差 $\mathbf p-\operatorname{proj}_{\mathbf d}\mathbf p$ 与 $\mathbf d$ 垂直；正是这个垂直性让距离达到最小。

2. 2

   算两个点积。 取 $\mathbf p=(1,4)$，$\mathbf d=(3,1)$：

   $\mathbf p\cdot\mathbf d=1(3)+4(1)=7,\qquad \mathbf d\cdot\mathbf d=9+1=10$

3. 3

   求出参数和这个点。

   $a=\frac{7}{10}=0.7\;\Longrightarrow\;\text{最近点}=0.7(3,1)=\left(\frac{21}{10},\,\frac{7}{10}\right)=(2.1,\,0.7)$

4. 4

   验证垂直性。 从垂足指向 $P$ 的残差向量是

   $(1,4)-(2.1,0.7)=(-1.1,\,3.3)$

   它与方向向量的点积为 $(-1.1)(3)+(3.3)(1)=-3.3+3.3=0\;\checkmark$。点积为零是证明，不只是旁证——直线上没有别的点具有这个性质。

5. 5

   顺带读出最短距离。

   $\left\|(-1.1,\,3.3)\right\|=\sqrt{1.21+10.89}=\sqrt{12.1}\approx 3.4785$

   试一下邻近的参数值可以确认它确实是最小：$a=0.6$ 时距离为 $\sqrt{12.2}\approx 3.493$，$a=0.8$ 时也是 $\sqrt{12.2}$，都比 $\sqrt{12.1}$ 大。