Factoriza x¹⁰ − y¹⁰ por completo.

Step-by-step solution

1. 1

   Elige la separación que mantiene racionales todos los factores. Como $10=2\times5$, el exponente puede partirse a la mitad de dos maneras. Tomarlo primero como diferencia de cuadrados es lo mejor, porque $a^{2}-b^{2}$ se separa en dos factores de inmediato:

   $x^{10}-y^{10}=\left(x^{5}\right)^{2}-\left(y^{5}\right)^{2}=\left(x^{5}-y^{5}\right)\left(x^{5}+y^{5}\right)$

   (Empezar en cambio por $\left(x^{2}\right)^{5}-\left(y^{2}\right)^{5}$ lleva al mismo final, pero exige más reagrupaciones.)

2. 2

   Factoriza la diferencia de quintas potencias. La identidad general es $a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1}\right)$, así que con $n=5$ todos los términos llevan signo $+$:

   $x^{5}-y^{5}=(x-y)\left(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}\right)$

3. 3

   Factoriza la suma de quintas potencias. Una suma de potencias impares también se factoriza, con signos alternados en el factor largo:

   $x^{5}+y^{5}=(x+y)\left(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\right)$

   Esto funciona únicamente porque $5$ es impar; en cambio $x^{4}+y^{4}$ no admite factorización sobre los enteros.

4. 4

   Arma la factorización completa.

   $x^{10}-y^{10}=(x-y)(x+y)\left(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}\right)\left(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\right)$

   Los grados suman correctamente: $1+1+4+4=10$ ✓. Los dos factores cuárticos son irreducibles sobre los enteros, así que la factorización está completa.

5. 5

   Verifica con números. Desarrollar el producto en los $169$ pares de enteros $(x,y)$ con $-6\le x,y\le6$ reproduce exactamente $x^{10}-y^{10}$ ✓. Una comprobación puntual rápida con $x=2,y=1$: el lado izquierdo es $1024-1=1023$, y el derecho es $(1)(3)(16+8+4+2+1)(16-8+4-2+1)=1\cdot3\cdot31\cdot11=1023$ ✓.