Calculadora de factorización

La factorización es el proceso de descomponer una expresión polinómica en un producto de expresiones más simples llamadas factores. Es la operación inversa de la expansión (multiplicar y desarrollar).

Por ejemplo:

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

El lado izquierdo es un único polinomio; el lado derecho es la misma expresión escrita como un producto de dos binomios.

La factorización es esencial en álgebra porque nos permite:

• Resolver ecuaciones: Igualar cada factor a cero da las raíces.
• Simplificar fracciones: Cancelar factores comunes en expresiones racionales.
• Analizar el comportamiento: Identificar ceros, asíntotas y cambios de signo.

Un polinomio está completamente factorizado cuando cada factor es irreducible (no se puede factorizar más sobre los enteros). El Teorema Fundamental del Álgebra garantiza que todo polinomio de grado $n$ se puede factorizar en exactamente $n$ factores lineales sobre los números complejos.

Los tipos comunes de factorización incluyen:

• Sacar el máximo común divisor (MCD)
• Factorizar trinomios
• Diferencia de cuadrados: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
• Suma/diferencia de cubos
• Factorización por agrupación

Estas son las principales técnicas de factorización, ordenadas de la más simple a la más avanzada:

1. Sacar el MCD

Empieza siempre extrayendo el máximo común divisor.

Ejemplo: $6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)$

2. Diferencia de cuadrados

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Ejemplo: $x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$

3. Trinomios cuadrados perfectos

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Ejemplo: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

4. Factorización de trinomios ($x^2 + bx + c$)

Halla dos números $p$ y $q$ tales que $p + q = b$ y $p \cdot q = c$:

$x^2 + bx + c = (x + p)(x + q)$

Ejemplo: $x^2 - 5x + 6$: halla $p + q = -5$ y $pq = 6$ → $p = -2, q = -3$

Así $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

5. Método AC (para $ax^2 + bx + c$ con $a \neq 1$)

Multiplica $a \cdot c$, halla dos números que multiplicados den $ac$ y sumados den $b$, luego divide y agrupa.

Ejemplo: $2x^2 + 7x + 3$: $ac = 6$, halla $1 + 6 = 7$

• $2x^2 + x + 6x + 3 = x(2x+1) + 3(2x+1) = (x+3)(2x+1)$

6. Suma/diferencia de cubos

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

7. Factorización por agrupación

Agrupa los términos en pares y factoriza cada par, luego saca el binomio común.

• Olvidar sacar primero el MCD: Comprueba siempre si hay un factor común antes de usar otras técnicas.
• Confundir diferencia y suma de cuadrados: $a^2 - b^2$ se factoriza, pero $a^2 + b^2$ no se factoriza sobre los reales.
• Errores de signo en la factorización de trinomios: Cuando $c > 0$ y $b < 0$, tanto $p$ como $q$ son negativos.
• Detenerse demasiado pronto: Comprueba si cada factor se puede factorizar más (p. ej., $x^4 - 16 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x+2)(x-2)$).
• No verificar expandiendo: Multiplica siempre tus factores de nuevo para confirmar que son iguales a la expresión original.