x² − 2xy + y² − 9 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   平方が作れる組み方を探す。 4 項あるとつい $2+2$ に割りたくなるが、ここははじめの 3 項が一組である。$x^2-2xy+y^2$ が完全平方の型——2 つの平方と、その根の積の $-2$ 倍にあたる中間項——になっているからである。

2. 2

   はじめの 3 項をまとめる。

   $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$

   なので式は

   $(x-y)^2-9$

   になる。2 文字の問題に見えたものが、$x-y$ というひとつの量についての 1 文字の問題に変わった。

3. 3

   平方の差だと見抜く。 $9=3^2$ なので、これは $A=x-y$、$B=3$ とした $A^2-B^2$ であり、

   $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

4. 4

   代入して因数を書く。

   $(x-y)^2-3^2=\bigl((x-y)-3\bigr)\bigl((x-y)+3\bigr)=(x-y-3)(x-y+3)$

5. 5

   これで完成であることを確かめる。 どちらの因数も $x$ と $y$ について 1 次なので、これ以上は分かれない。この式は 2 本の平行な直線 $x-y=3$ と $x-y=-3$ の上でちょうど 0 になる——答えの幾何的な読み方である。

6. 6

   数値で検算する。 $[-6,6]$ から無作為に取った $60$ 組の $(x,y)$ でもとの式と積を比べると、どの点でも計算機の精度の範囲で一致する ✓。$x=5,y=1$ で確認：もとの式 $=25-10+1-9=7$、$(5-1-3)(5-1+3)=(1)(7)=7$ ✓。