x⁴ + x³ + 2x² − x + 3 を整数の範囲で完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず 1 次因数を排除する。 有理根定理より有理数解は $3$ の約数なので、候補は $\pm1,\pm3$ だけである。順に代入すると $f(1)=1+1+2-1+3=6$、$f(-1)=1-1+2+1+3=6$、$f(3)=81+27+18-3+3=126$、$f(-3)=81-27+18+3+3=78$。どれも 0 にならないので 1 次因数は存在せず、整数の範囲で可能な因数分解は 2 つの 2 次式の積だけである。

2. 2

   未定係数のひな形を置く。 最高次の係数が $1$ なので、どちらの 2 次式もモニックとしてよい：

   $x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$

   展開すると $x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd$ となる。

3. 3

   係数を比べて 4 本の関係式を得る。

   $a+c=1,\qquad ac+b+d=2,\qquad ad+bc=-1,\qquad bd=3$

   定数項の式 $bd=3$ が最も場合の数が少ないので、そこから探索を進める：$(b,d)\in\{(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\}$。

4. 4

   (b, d) = (1, 3) を試す。 このとき $ac+4=2$ すなわち $ac=-2$ であり、$a+c=1$ と合わせると $\{a,c\}$ は $t^2-t-2=(t-2)(t+1)$ の根、つまり $\{2,-1\}$ である。1 次の係数を確かめると $ad+bc=2(3)+1(-1)=5\neq-1$。$a=-1,c=2$ と入れ替えると $-3+2=-1$ になるが、これは名前の付け替えにすぎず、下の $(b,d)=(3,1)$ の場合と同じである。書いた順のままではこの場合は失敗する。

5. 5

   (b, d) = (3, 1) を試す。 ここでも $ac+4=2$ なので $ac=-2$、$\{a,c\}=\{2,-1\}$ である。今度は $ad+bc=2(1)+3(-1)=2-3=-1$ ✓——$a=2,\ b=3,\ c=-1,\ d=1$ が 4 本すべてを満たす。

6. 6

   因数分解を書き、これで完成であることを確かめる。

   $x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2+2x+3)(x^2-x+1)$

   どちらの因数も実数の範囲ではこれ以上分かれない。判別式はそれぞれ $2^2-4(1)(3)=-8$ と $(-1)^2-4(1)(1)=-3$ で、ともに負なので、この 4 次式は実数解をまったく持たない。

7. 7

   展開し直して検算する。 $(x^2+2x+3)(x^2-x+1)=x^4-x^3+x^2+2x^3-2x^2+2x+3x^2-3x+3=x^4+x^3+2x^2-x+3$ ✓ となり、すべての係数が一致する。