4AB² − 4A²B − B³ を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   共通の文字因数をくくり出す。 どの項も $B$ を少なくとも 1 個含む（次数は $2,1,3$）一方、$A$ は最後の項にないので、共通因数は $B$ だけである。係数 $4,-4,-1$ には $1$ より大きい共通の数の因数がない：

   $4AB^2-4A^2B-B^3=B\left(4AB-4A^2-B^2\right)$

2. 2

   括弧の中を A の降べきの順に並べ替える。 $-4A^2+4AB-B^2$ と書くと構造が見えてくる——最高次の係数が負であり、これはマイナス符号をくくり出したいという合図である。

3. 3

   マイナス符号をくくり出す。

   $4AB-4A^2-B^2=-\left(4A^2-4AB+B^2\right)$

   中の 3 つの符号がすべて反転する。この一手を飛ばすことが、平方の形が見えなくなる主な原因である。

4. 4

   完全平方式であることを見抜く。 $4A^2-4AB+B^2$ について、両端の項は $(2A)^2$ と $B^2$ であり、中央の項は $-2\cdot(2A)\cdot B=-4AB$ である ✓。よって

   $4A^2-4AB+B^2=(2A-B)^2$

5. 5

   因数分解を組み立て直す。

   $4AB^2-4A^2B-B^3=B\cdot\left[-(2A-B)^2\right]=-B\left(2A-B\right)^2$

   2 乗すると符号は消えるので $(2A-B)^2=(B-2A)^2$ であり、$-B(B-2A)^2$ も同じ答えを別の書き方にしたものである。

6. 6

   この形から何が分かるかを押さえる。 $(2A-B)^2\ge0$ がつねに成り立つので、式全体の符号は $B$ の符号と 逆 になる。$B>0$ なら負、$B<0$ なら正、$B=0$ または $B=2A$ のときはゼロである。

7. 7

   数値で検算する。 $[-5,5]$ からとった $60$ 組のランダムな $(A,B)$ で、もとの式と $-B(2A-B)^2$ を比べると、どの点でも計算機の精度の範囲で一致する ✓。