x²(x − y) + (y − x) を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   2 つのかっこがほとんど同じであることに気づく。 式には $(x-y)$ と $(y-x)$ が現れる。同一ではないが、互いに符号を反転したものである。これは共通因数でくくるときの定番の障害であり、全部を展開しなくても符号を 1 回反転させるだけで解消できる。

2. 2

   2 つ目のかっこの符号を反転する。

   $y-x=-(x-y)$

   であるから、式は次のようになる。

   $x^2(x-y)-(x-y)$

   これで 2 つの項がまったく同じ因数 $(x-y)$ を持つ。

3. 3

   共通のかっこをくくり出す。 2 つ目の項を $1\cdot(x-y)$ と書けば係数がはっきりする：

   $x^2(x-y)-1(x-y)=(x-y)\left(x^2-1\right)$

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   2 乗の差の形を見抜く。 $x^2-1=x^2-1^2$ なので、$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ より：

   $x^2-1=(x-1)(x+1)$

   答えを $(x-y)(x^2-1)$ のままにしておくと、因数分解が不完全である。

5. 5

   完全な因数分解を書く。

   $x^2(x-y)+(y-x)=(x-y)(x-1)(x+1)$

   1 次の因数が 3 つなので、この式がゼロになるのはちょうど $x=y$、$x=1$、$x=-1$ のときである。

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   数値と展開の両方で検算する。 $[-4,4]$ の中で $(x,y)$ を $60$ 組ランダムに取って調べると、どの点でも機械精度で一致する ✓。$x=3,y=1$ で確かめると、もとの式は $9(2)+(1-3)=18-2=16$、因数分解した形は $(2)(2)(4)=16$ である ✓。