把 2x³ − x² − 5x − 2 完全分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先試分組，並看它失敗。 兩兩配對得到 $\left(2x^3-x^2\right)+(-5x-2)=x^2(2x-1)-(5x+2)$。兩個括號 $(2x-1)$ 與 $(5x+2)$ 並不相同，所以分組法在這裡用不上——這就是該改用有理根定理的訊號。

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   列出有理根的候選。 有理根 $\tfrac{p}{q}$ 需要 $p\mid2$（常數項）且 $q\mid2$（首項係數），所以候選是

   $\pm1,\ \pm2,\ \pm\tfrac12$

   會出現二分之一，正是因為首項係數是 $2$ 而不是 $1$——這一步很多人會跳過。

3. 3

   逐一代入候選。

   $f(2)=2(8)-4-10-2=16-16=0\ \checkmark$

   所以 $x=2$ 是根，$(x-2)$ 是因式。

4. 4

   用綜合除法除以 (x − 2)。 以根 $2$ 對係數 $2,\ -1,\ -5,\ -2$ 操作：

   $2\ \to\ -1+4=3\ \to\ -5+6=1\ \to\ -2+2=0$

   餘式為零 ✓，商是 $2x^2+3x+1$：

   $2x^3-x^2-5x-2=(x-2)\left(2x^2+3x+1\right)$

5. 5

   用 AC 法分解這個二次式。 需要兩個數乘積為 $2\times1=2$、和為 $3$：就是 $1$ 與 $2$。拆項後分組：

   $2x^2+2x+x+1=2x(x+1)+1(x+1)=(2x+1)(x+1)$

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   寫出完整分解與所有根。

   $2x^3-x^2-5x-2=(x-2)(2x+1)(x+1)$

   三個根是 $x=2$、$x=-\tfrac12$、$x=-1$——注意 $-\tfrac12$ 正是剛才那些分數候選之一，這就是它們非列不可的理由。

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   驗算。 在 $-30$ 到 $29$ 的每個整數上比較原式與三項乘積，結果完全一致 ✓。根與係數關係也吻合：根的總和為 $2-\tfrac12-1=\tfrac12=-b/a$ ✓，乘積為 $2\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot(-1)=1=-d/a$ ✓。