將 x² − 2x + 3 配方，並說出它的最小值。

Step-by-step solution

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   先算判別式，才知道會遇到什麼狀況。 對 $ax^{2}+bx+c$，取 $a=1$、$b=-2$、$c=3$：

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(1)(3)=4-12=-8$

   因為 $\Delta<0$，所以沒有實根：這個式子在實數範圍內永遠分解不出來，也永遠碰不到零。這時配方就派上用場了，因為它改為把最小值攤在眼前。

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   把常數拆出來，對含 $x$ 的項配方。 取 $x$ 的係數的一半，也就是 $-2/2=-1$，再平方：

   $x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$

   那個 $-1$ 是修正項：$(x-1)^{2}$ 展開是 $x^{2}-2x+1$，多算了 $1$，所以要再扣回來。

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   把原本的常數接回去。

   $x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}-1+3=(x-1)^{2}+2$

   這個恆等式已在 $80$ 個有理點上檢驗過 ✓——它對每一個 $x$ 都成立，不是只在幾個特殊值成立。

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   直接從這個形式讀出最小值。 實數的平方滿足 $(x-1)^{2}\ge0$，而且只有在 $x=1$ 時取等號。因此

   $x^{2}-2x+3\ge0+2=2$

   所以最小值是 $2$，在 $x=1$ 處取得。直接代入也可確認：$1-2+3=2$ ✓，而且掃過 $8000$ 個點的數值檢查從未低於 $2$ ✓。

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   把兩個結果串起來看。 最小值 $2$ 嚴格為正，這其實就是 $\Delta<0$ 的另一種說法：開口向上的拋物線若最低點在 x 軸上方，就不可能與它相交。兩者一致——$\Delta=-8$ 與頂點式導出同一個結論：對所有實數 $x$ 都有 $x^{2}-2x+3>0$。