Fundamentos de probabilidade: regras, análise combinatória e exemplos

A probabilidade quantifica a incerteza. A boa notícia: a maioria dos exercícios se resume a um pequeno conjunto de regras e à disposição de contar com cuidado. Este guia cobre a base de que você precisa antes de avançar para distribuições, testes de hipótese ou inferência bayesiana.

O que "probabilidade" significa

A probabilidade de um evento $A$ é

$P(A) = \frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos totais}}$

supondo que todos os resultados sejam igualmente prováveis. $P(A) \in [0, 1]$:

• $0$ = impossível.
• $1$ = certo.
• $0,5$ = o lançamento de uma moeda.

Para resultados que não são igualmente prováveis, você atribui pesos a cada resultado (é isso que uma distribuição de probabilidade faz).

As três regras fundamentais

Regra da adição (probabilidade de A ou B)

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Subtraia a interseção para não contar duas vezes. Se $A$ e $B$ forem mutuamente exclusivos (não podem acontecer juntos), a interseção é zero.

Exemplo: ao tirar uma carta de um baralho de 52 cartas, $P(\text{Rei ou Copas}) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13$. (Uma carta é ao mesmo tempo Rei e Copas, daí a subtração.)

Regra da multiplicação (probabilidade de A e B)

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

Se $A$ e $B$ forem independentes (um não afeta o outro), $P(B | A) = P(B)$, simplificando para $P(A) \cdot P(B)$.

Exemplo: ao lançar dois dados, $P(\text{ambos 6}) = 1/6 \cdot 1/6 = 1/36$. (Os lançamentos são independentes.)

Probabilidade condicional

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

A probabilidade de $B$ dado que $A$ ocorreu. Base do teorema de Bayes e de boa parte da estatística inferencial.

Exemplo: uma carta tirada é uma figura. Qual a probabilidade de ser um Rei?

• $P(\text{Rei e figura}) = 4/52$.
• $P(\text{figura}) = 12/52$.
• $P(\text{Rei | figura}) = (4/52) / (12/52) = 4/12 = 1/3$.

Contagem: permutações e combinações

Para $n$ itens escolher $r$:

• Permutações (a ordem importa): $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$.
• Combinações (a ordem não importa): $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.

A decisão é "trocar dois dos itens escolhidos dá um resultado diferente?":

• Sim (ex.: medalha de ouro vs. prata) → permutação.
• Não (ex.: escolher uma comissão de 5 pessoas) → combinação.

Exemplo resolvido: loteria

Escolha 6 números de 49. A ordem no seu bilhete não importa — combinação.

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13.983.816$

Então $P(\text{ganhar a sena de 6 números}) = 1/13{,}983{,}816 \approx 7,15 \times 10^{-8}$.

Independente vs. mutuamente exclusivo (não confunda!)

• Independente: conhecer $A$ não muda $P(B)$. Lançamentos de moeda são independentes.
• Mutuamente exclusivo: $A$ e $B$ não podem acontecer juntos. Um lançamento de dado não pode ser 1 e 2 ao mesmo tempo.

Dois eventos podem ser um, o outro, ambos ou nenhum. Eles não são o mesmo conceito, apesar de serem comumente confundidos.

Erros comuns

• A falácia do apostador: "Tirei 5 caras seguidas, então a próxima tem de ser coroa." Lançamentos de moeda são independentes — o passado não muda a probabilidade futura.
• Somar probabilidades não mutuamente exclusivas sem subtrair a interseção. $P(\text{Rei}) + P(\text{Copas}) \neq P(\text{Rei ou Copas})$.
• Confundir $P(A | B)$ com $P(B | A)$. A clássica falácia do promotor: "Dado que o réu é inocente, a chance dessa prova é pequena; portanto, dada a prova, a chance de inocência é pequena." Logicamente errado sem aplicar o teorema de Bayes.

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Relacionado:

• Glossário: Teorema de Bayes
• Comparação: Permutação vs. Combinação
• Folha de Consulta de Fórmulas de Estatística