O teorema de Bayes relaciona probabilidades condicionais, permitindo inverter o sentido do condicionamento:

$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}$

Dada a probabilidade a priori $P(A)$ (sua crença antes da evidência) e a verossimilhança $P(B \mid A)$ , calcula-se a probabilidade a posteriori $P(A \mid B)$ — sua crença atualizada após observar $B$ .

Exemplo clássico de teste médico: prevalência da doença de 1%, sensibilidade do teste de 99%, taxa de falsos positivos de 1%. A probabilidade de ter a doença dado um resultado positivo:

$\frac{0.99 \cdot 0.01}{0.99 \cdot 0.01 + 0.01 \cdot 0.99} = \frac{1}{2}$

Apesar de um teste com 99% de acurácia, um resultado positivo significa apenas 50% de chance de ter a doença — porque a doença é rara. A "falácia da taxa-base" (esquecer a probabilidade a priori) é o erro mais comum com Bayes.

Bayes sustenta a inferência bayesiana, os classificadores Naive Bayes, os filtros de spam e o raciocínio forense.

Teorema de Bayes

O teorema de Bayes inverte probabilidades condicionais: P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B). É a base da inferência bayesiana, dos testes médicos e do aprendizado de máquina.