Permutação vs combinação

Permutações e combinações parecem quase idênticas até você fazer uma pergunta: a ordem importa? Erre nisso e sua resposta de probabilidade ficará errada por um fator de $r!$ ou mais. Aqui está a distinção clara com exemplos resolvidos.

A pergunta central: a ordem importa?

• Sim, a ordem importa → permutação. Escolher o 1.º / 2.º / 3.º lugar entre 10 corredores.
• Não, a ordem não importa → combinação. Escolher um comitê de 5 pessoas entre 20.

Os mesmos 10 candidatos podem dar respostas diferentes dependendo de os papéis serem distintos.

As fórmulas

Para $n$ itens, escolher $r$:

$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}, \qquad C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}.$

Observe que a combinação é a permutação dividida por $r!$: esse $r!$ remove as ordenações dos itens escolhidos, já que combinações não se importam com a ordem.

Exemplos resolvidos

Permutação: pódio de corrida

Dez corredores, três posições de medalha (ouro, prata, bronze). A ordem importa — ouro ≠ prata.

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720.$

Combinação: números da loteria

Escolha 6 números entre 49 — a ordem no seu bilhete não importa.

$C(49, 6) = \binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13{,}983{,}816.$

Mesmos números, resposta diferente

Escolha 3 letras de {A, B, C, D}.

• Como permutação (senhas de 3 letras): $P(4, 3) = 24$. ABC, ACB, BAC, ... todas distintas.
• Como combinação (apenas escolher 3 letras): $C(4, 3) = 4$. {A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}.

O fator de $3! = 6$ entre elas é exatamente o $r!$ da fórmula.

Atalho de decisão

Na dúvida, pergunte: "Se eu trocar dois dos meus itens escolhidos, o resultado é diferente?"

• Sim → permutação
• Não → combinação

Escolher um capitão e um vice-capitão → trocar muda quem é o capitão → permutação.
Escolher 2 pessoas para uma dupla → trocar é a mesma dupla → combinação.

Erros comuns

• Misturar as duas quando há probabilidade envolvida. O denominador (total de resultados) e o numerador (resultados favoráveis) devem usar o mesmo método de contagem.
• Esquecer o divisor $r!$. Se você calcular permutações quando queria combinações, vai contar a mais por um fator de $r!$.
• Itens distinguíveis vs indistinguíveis. Se alguns itens forem idênticos (ex.: 5 bolas vermelhas e 3 azuis), nenhuma fórmula simples se aplica — você precisa do coeficiente multinomial $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots}$.

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