Inequações explicadas: lineares, compostas e quadráticas

As inequações parecem idênticas às equações até você chegar à regra que faz você acordar de madrugada: quando você multiplica ou divide por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte. Este guia percorre inequações lineares, compostas e quadráticas com os padrões que resolvem 95% da lição de casa.

A única regra que todo mundo esquece

Para equações: toda operação preserva a igualdade. $5 = 5$ implica $5 \cdot (-1) = 5 \cdot (-1)$ — ambos os lados igualmente negados, a igualdade se mantém.

Para inequações: multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo inverte o sentido. $5 > 3$ é verdadeiro, mas multiplique ambos por $-1$ e obtemos $-5 > -3$, o que é falso. A afirmação corrigida é $-5 < -3$.

Essa única regra é a fonte da maioria dos erros com inequações. Grave-a nos seus reflexos:

• Somar/subtrair qualquer coisa → sem inversão.
• Multiplicar/dividir por positivo → sem inversão.
• Multiplicar/dividir por negativo → inverta a desigualdade.

Inequações lineares

Resolva como você resolve equações lineares, ficando atento às inversões de sinal.

Exemplo 1: $3x + 5 > 14$.

• Subtraia 5: $3x > 9$.
• Divida por $3$ (positivo, sem inversão): $x > 3$.
• Conjunto solução: $(3, \infty)$ — o parêntese aberto significa que $x = 3$ não está incluído.

Exemplo 2 (com a inversão): $-2x + 7 \leq 1$.

• Subtraia 7: $-2x \leq -6$.
• Divida por $-2$ (negativo — INVERTA): $x \geq 3$.
• Conjunto solução: $[3, \infty)$ — colchete por causa do $\leq$, incluindo $3$.

Inequações compostas

Uma inequação "composta" une duas inequações simples com E ou OU.

E muitas vezes é escrita como uma única cadeia: $-1 < 2x + 3 \leq 7$. Opere nas três partes simultaneamente.

• Subtraia 3 em tudo: $-4 < 2x \leq 4$.
• Divida por 2 em tudo: $-2 < x \leq 2$.
• Solução: $(-2, 2]$.

OU permanece como duas inequações separadas. A solução é a união dos dois conjuntos solução individuais:

$x < -3$ ou $x > 5$ → solução $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$.

Inequações quadráticas

Para $x^2 + bx + c > 0$ (ou qualquer inequação $\neq 0$):

1. Encontre as raízes de $x^2 + bx + c = 0$.
2. Marque as raízes na reta numérica — elas a dividem em intervalos.
3. Teste um ponto em cada intervalo para ver se a quadrática é positiva ou negativa ali.
4. Escolha os intervalos que correspondem ao sentido da desigualdade.

Exemplo: $x^2 - 5x + 6 > 0$.

• Fatore: $(x - 2)(x - 3) > 0$. Raízes em $x = 2$ e $x = 3$.
• Teste os intervalos:
  • $x = 0$: $(0-2)(0-3) = 6 > 0$ ✓
  • $x = 2{,}5$: $(0{,}5)(-0{,}5) = -0{,}25 < 0$ ✗
  • $x = 4$: $(2)(1) = 2 > 0$ ✓
• Solução: $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Para inequações $\leq$ ou $\geq$, inclua as raízes (intervalos fechados): $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

Representar soluções na reta numérica

• Círculo aberto (○) em um valor não incluído ($<$ ou $>$).
• Círculo fechado (●) em um valor incluído ($\leq$ ou $\geq$).
• Seta estendendo-se ao infinito no sentido da solução.

E composto → colchete entre dois círculos. OU composto → duas semirretas separadas indo para fora.

Inequações com valor absoluto

$|x - a| < b$ se desdobra em $-b < x - a < b$, ou seja, $a - b < x < a + b$ — um intervalo limitado.

$|x - a| > b$ se desdobra em $x - a < -b$ OU $x - a > b$, ou seja, $x < a - b$ OU $x > a + b$ — duas semirretas indo para fora.

Erros comuns

1. Esquecer de inverter ao dividir por um negativo. A maior fonte isolada de respostas erradas em inequações.
2. Incluir os extremos incorretamente. $<$ vs $\leq$ importa — o tipo do seu colchete depende disso.
3. Tratar o E composto como igualdade. $-2 < x < 5$ é uma única afirmação; você não pode quebrá-la em "$x = -2$ ou $x = 5$".
4. Resolver inequações quadráticas como equações. Igualar $x^2 - 4 > 0$ "a zero" dá raízes $\pm 2$; a solução da inequação não é $\{-2, 2\}$, mas os intervalos entre/ao redor delas.

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