Resolvedor de Inequações

Uma inequação é uma afirmação matemática que compara duas expressões usando um dos símbolos:

• $<$ (menor que)
• $>$ (maior que)
• $\leq$ (menor ou igual a)
• $\geq$ (maior ou igual a)

Diferente das equações (que perguntam "que valores tornam os dois lados iguais?"), as inequações perguntam "que valores tornam um lado maior (ou menor) que o outro?"

Por exemplo, a inequação:

$2x - 5 > 3$

pergunta: para quais valores de $x$ temos $2x - 5$ maior que $3$?

A solução de uma inequação é tipicamente um intervalo de valores, não um único número. As soluções costumam ser expressas em notação de intervalo:

• $(a, b)$: todos os valores estritamente entre $a$ e $b$
• $[a, b]$: todos os valores de $a$ até $b$, inclusive
• $(-\infty, a) \cup (b, \infty)$: todos os valores menores que $a$ ou maiores que $b$

As inequações são fundamentais em otimização, problemas com restrições e na determinação de domínios e imagens de funções.

1. Inequações Lineares

Resolva como uma equação linear, com uma regra crítica: inverter o sinal da inequação ao multiplicar ou dividir por um número negativo.

Exemplo: Resolva $2x - 5 > 3$

1. Some 5: $2x > 8$
2. Divida por 2: $x > 4$

Solução: $(4, \infty)$

Exemplo com inversão de sinal: Resolva $-3x + 6 \leq 12$

1. Subtraia 6: $-3x \leq 6$
2. Divida por $-3$ (inverta!): $x \geq -2$

2. Inequações Quadráticas

Resolva primeiro a equação correspondente, depois teste os intervalos.

Exemplo: Resolva $x^2 - 4x - 5 > 0$

1. Fatore: $(x - 5)(x + 1) > 0$
2. Pontos críticos: $x = -1$ e $x = 5$
3. Teste os intervalos:
   • $x < -1$: $(-)(-) = (+) > 0$ ✓
   • $-1 < x < 5$: $(-)(+) = (-) < 0$ ✗
   • $x > 5$: $(+)(+) = (+) > 0$ ✓

Solução: $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

3. Inequações Racionais

Encontre onde o numerador e o denominador são zero (pontos críticos), depois teste o sinal em cada intervalo. Nunca multiplique ambos os lados por uma expressão que possa ser negativa.

4. Inequações com Valor Absoluto

• $|x| < a$ significa $-a < x < a$
• $|x| > a$ significa $x < -a$ ou $x > a$

5. Método do Quadro de Sinais

Para inequações polinomiais/racionais, construa um quadro de sinais mostrando o sinal de cada fator em cada intervalo.

• Esquecer de inverter o sinal da inequação: ao multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo, você precisa inverter a direção da inequação.
• Incluir pontos críticos de forma incorreta: para inequações estritas ($<$, $>$), os pontos críticos NÃO são incluídos. Para $\leq$ ou $\geq$, eles são.
• Multiplicar por uma variável sem considerar seu sinal: se você multiplicar ambos os lados por $x$, precisa considerar separadamente os casos $x > 0$ e $x < 0$.
• Tratar inequações compostas incorretamente: para $a < f(x) < b$, resolva ambas as partes simultaneamente, não de forma independente.
• Escrever a solução com notação errada: use parênteses para inequações estritas e colchetes para as inclusivas.