Valor absoluto

O valor absoluto de um número real $x$, escrito $|x|$, é a sua distância até $0$ na reta numérica — sempre não negativo. Definição formal:

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$

Regras comuns:

• $|ab| = |a||b|$
• $|a/b| = |a|/|b|$ (com $b \neq 0$)
• $|a + b| \leq |a| + |b|$ — a desigualdade triangular.

Resolver $|x - 3| = 5$ exige considerar os dois casos: $x - 3 = 5$ ou $x - 3 = -5$, o que dá $x = 8$ ou $x = -2$.

Generalizações: no plano complexo, $|z|$ é a distância até $0$ em 2D. Em espaços vetoriais, $|\vec{v}|$ torna-se a norma. O valor absoluto generaliza-se a qualquer estrutura onde "tamanho" ou "distância" façam sentido.