A regra da cadeia: quando e como aplicá-la (com exemplos)

A regra da cadeia é a ferramenta mais usada na derivação e também a maior fonte de erros. Uma vez que você internaliza o padrão "de fora para dentro", consegue derivar quase qualquer função composta em três linhas. Este guia mostra o padrão, percorre sete exemplos cada vez mais difíceis e lista os quatro erros que vale a pena memorizar de antemão.

O que diz a regra da cadeia

Se $f$ e $g$ são deriváveis, a derivada da composição $f(g(x))$ é

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

Em palavras: derive a função externa avaliada na interna e multiplique pela derivada da interna. Os rótulos "externa" e "interna" não são negociáveis: confundi-los inverte a resposta.

Um mnemônico útil: a regra da cadeia é "a derivada externa vezes a derivada interna", nunca mais, nunca apenas uma.

Exemplos resolvidos (fácil → difícil)

Exemplo 1: $\frac{d}{dx}\sin(2x)$

• Externa: $\sin(u)$, interna: $u = 2x$.
• $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$, $\frac{d}{dx}(2x) = 2$.
• Resultado: $\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

Exemplo 2: $\frac{d}{dx} e^{x^2}$

• Externa: $e^u$, interna: $u = x^2$.
• $\frac{d}{du} e^u = e^u$, $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
• Resultado: $e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$.

Exemplo 3: $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4$

• Externa: $u^4$, interna: $u = 3x^2 + 1$.
• $\frac{d}{du} u^4 = 4u^3$, $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x$.
• Resultado: $4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$.

Exemplo 4: $\frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

• Externa: $\ln u$, interna: $u = \cos x$.
• $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.
• Resultado: $\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$.

Exemplo 5: $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$

• Reescreva como $(x^2 + 1)^{1/2}$.
• Externa: $u^{1/2}$, interna: $u = x^2 + 1$.
• Derivada externa: $\frac{1}{2}u^{-1/2}$. Interna: $2x$.
• Resultado: $\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Exemplo 6: cadeia aninhada — $\frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2))$

Três camadas — aplique a regra da cadeia duas vezes.

• Mais externa: $\sin(u)$, interna $u = \cos(x^2)$.
• $\frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x$ (regra da cadeia em $\cos(x^2)$).
• Resultado: $\cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$.

Exemplo 7: cadeia + regra do produto juntas — $\frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr)$

• Use primeiro a regra do produto: $(fg)' = f'g + fg'$.
• $f = x^2$, $f' = 2x$. $g = \sin(3x)$, pela regra da cadeia $g' = 3\cos(3x)$.
• Resultado: $2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$.

Os quatro erros que vale a pena memorizar

1. Esquecer a derivada interna. Escrever $\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)$ é o erro de regra da cadeia mais comum. O fator $2$ é obrigatório.
2. Derivar a parte interna antes de substituir. $\frac{d}{dx}(3x^2+1)^4$ não é $4(6x)^3$. A derivada externa é avaliada na expressão interna, não na derivada interna.
3. Confundir função aninhada com produto. $\sin(2x)$ é uma composição, não um produto. Use a regra da cadeia, não a do produto.
4. Agrupar mal as potências trigonométricas. $\sin^2(x) = (\sin x)^2$ — a externa é $u^2$, a interna é $\sin x$. Facilmente confundida com $\sin(x^2)$, em que a externa é $\sin$ e a interna é $x^2$.

Quando você empaca: o truque da substituição

Faça $u = \text{(a parte interna)}$, encontre $\frac{dy}{du}$ e $\frac{du}{dx}$, multiplique. Mesmo quando a função parece intimidante, essa substituição mecânica sempre funciona.

Experimente você mesmo

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Para material relacionado mais aprofundado:

• Calculadora de Limites — os limites alimentam a base da regra da cadeia
• Calculadora de Integrais — a substituição é a regra da cadeia ao contrário
• Exemplo resolvido: derivada de sin(2x)
• Exemplo resolvido: derivada de e^(2x)